计量经济学讲义第二讲(共十讲)

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1、浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列第二讲普通最小二乘估计量一、基本概念：估计量与估计值对总体参数的一种估计法则就是估计量。例如，为了估计总体均值为u，我们可以抽取一个容量为N的样本，令Yi为第i次观测值，则u的一个很自然的估计量就是。A、B两同学都利用了这种估计方法，但手中所掌握的样本分别是与。A、B两同学分别计算出估计值与。因此，在上例中，估计量是随机的，而是该随机变量可能的取值。估计量所服从的分布称为抽样分布。如果真实模型是：，其中是待估计的参数，而相应的OLS估计量就是：我们现在的任务就是，基于一些重要的假定，来考察上述OLS估计量所具有的一些性质。二、高斯-马尔科夫假定17浙

2、江工商大学金融学院姚耀军讲义系列●假定一：真实模型是：。有三种情况属于对该假定的违背：（1）遗漏了相关的解释变量或者增加了无关的解释变量；（2）y与x间的关系是非线性的；（3）并不是常数。●假定二：在重复抽样中，被预先固定下来，即是非随机的（进一步的阐释见附录），显然，如果解释变量含有随机的测量误差，那么该假定被违背。还存其他的违背该假定的情况。笔记：是随机的情况更一般化，此时，高斯-马尔科夫假定二被更改为：对任意,与不相关，此即所谓的解释变量具有严格外生性。显然，当非随机时，与必定不相关，这是因为是随机的。●假定三：误差项期望值为0，即。笔记：1、当随机时，标准假定是：根据迭代期望

3、定律有：,因此，如果成立，必定有：。另外，根据迭代期望定律也有：17浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列而。故有：因此，在是随机的情况下，假定二、三可以修正为一个假定：。2、所谓迭代期望定律是指：如果信息集，则有。为了理解上述等式，考虑一个极端情况：包含了全部的信息，此时X丧失了随机性，故，因此必有。无条件期望所对应的信息集是空集，因此。3、回忆第一讲，对模型，在OLS法下我们一定能保证:(1)残差均值为零;(2)残差与x样本不相关。残差是对误差的近似，如果假定二、三不成立，即误差项与解释变量相关，误差项期望值不为零，显然此时残差并不是对误差项的有效的近似，换句话说，此时OLS估计量是

4、有严重问题的。因此，假定二、三非常重要。●假定四：，即所谓的同方差假定。笔记：在是随机的情况下，该假定修订为：17浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列●假定五：，即所谓的序列不相关假定。笔记：在是随机的情况下，该假定修订为：●假定六：，在多元回归中，该假定演变为的逆存在，即各解释变量不完全共线。一、高斯-马尔科夫定理当高斯-马尔科夫假定成立时，在所有线性无偏估计量中，OLS估计量方差最小。或者说，OLS估计量是最优线性无偏估计量（bestlinearunbiasedestimator,BLUE）。这被称为高斯-马尔科夫定理。（一）OLS估计量是线性估计量所谓OLS估计量是线性估计量，是

5、指它能够被表示为的线性函数。例如：注意，在假定二下，ki是非随机的。17浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列练习：把表示成的线性函数。笔记：线性意味着简单，简单意味着普通。因此有称谓“普通最小二乘法”。二乘即为平方，故OLS即为“简单的最小平方法”。（二）OLS估计量具有无偏性：；证明：而；。因此在重要假定三：下，有：。笔记：在是随机的情况下，我们需证：练习：证明（三17浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列）在所有线性无偏估计量中，OLS估计量方差最小1、关于方差在重要假定五：及其重要假定四：下，有：注意到因此有：笔记：，当N趋于无穷大时，样本方差收敛于总体方差，故当N趋于无穷大时，趋于

6、0。由于，因此，当N趋于无穷大时，在概率上收敛于，即是的一致估计量。你能够表明是17浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列的一致估计量吗？应该注意到，一致性是估计量应该满足的最低要求。想一想，如果把总体都告诉了你，但你的估计或者猜测却与真实参数不一致，你是不是应该检讨一下你的估计方法？练习：（1）证明在高斯-马尔科夫假定下：（2）证明在高斯-马尔科夫假定下：（3）证明在高斯-马尔科夫假定下：（4）证明在高斯-马尔科夫假定下：2、证明方差最小把任意一种线性估计量表示为，当时，该估计量即为的OLS估计量。现在我们将证明：在所有无偏的的线性估计量中，OLS估计量具有最小的方差。“在所有无偏的的

7、线性估计量中”是一个前提条件。我们的任务是，在给定前提下（约束条件），证明OLS估计量所对应的权数使方差（目标函数）取最小值。17浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列首先分析前提条件：线性估计量的表达是为了保证的无偏性，那么应该保证：因此，其次分析方差表示：，在假定四、五下，有：。最后，形成数学问题：常数对于该最优化问题并不重要，因此上述问题简化为：对上述极值问题，其拉格朗日函数是：相应的一阶条件是：17浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列应该注意到，把（3g