(名师点评)高考数学复习导数答疑

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1、导数答疑1.本章的学习目标是什么？（1）掌握导数的定义，灵活运用导数的定义计算函数在某一点的导数.（2）学握函数在某点的可导性与连续性的关系，即函数在某点可导必连续，连续不一定可导，不连续一定不可导.（3）掌握求导法则，尤其是复合函数的求导法则；能熟练地应用求导法则与基本公式求初筹函数的导数；会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数；并熟练地计算某些简单的初等函数的高阶导数.（4）理解中值定理特别是拉格朗FI中值定理，初步具有应用中值定理论证问题的能力.（5）能熟练地运用洛必达法则准确地计算各种不定式的极限.（6）理解泰勒公式的意义，能熟练地写出泰勒公式与马克劳林公式.2.

2、学好本章知识的关键是什么？由于导数是从许多的实际问题中抽象出来的一个数学概念，所以要知道导数的构造性定义，止确理解导数概念;心+心）-/（心）Ax知道导数是一种特殊类型的极限，即函数f（x）在点x（）处的函数的增量f（x（）+Ax）-f（x°）与相应的口变量的增量（x0+Ax）-x（）=Ax（Ax工0）的比值当自变量的增量厶乂一。时的极限值.复介函数的求导是木章的重点，同时也是难点,熟练掌握和运用复介函数的求导法则对学好木章的知识具有重要作用.复合函数求导的关键在于搞清复合函数的结构，明确复合次数，把一个初等函数由外向内分解成基本初等函数，以便利用导数公式（基本初等函数的

3、导数）.在求导过程中，比如，函数少［屮@（兀））］｝可看作y=f（u）W=（p（v）,v=屮=儿个基本初等函数复合而成，顺次先将最外层的「关于u求导，再将次外层的（P关于u求导，后将第三层的（p关于t求导，即逐次由外向内关于相应的中I'可变量求导，直至最内层的函数g关于自量x求导为止，并把这些所求得的导数顺次和乘即得.1.怎样理解导数概念？在生产实践和科学实验中，常常需要研究函数相对于自变量的变化快慢程度.例如，要预报人造地球卫星飞过各人城市的时间，就需要知道卫星的飞行速度；要研究轴和梁的弯1111变形问题，就必须会求1111线的切线斜率等等.求速度和曲线的切线斜率问题，

4、叫做求变化率问题，数学上称为求导数.下我们将从几个实际问题入手，引入导数的概念.引例1求变速直线运动的瞬时速度.解设有一质点M在直线AB±自O点开始作直线运动（如图3・1）・经过时间tjn,该质点离O点的距离是t的函数s=s（t）.求质点M在吋刻t（）的瞬吋速度.图3・1设在5到t0+At一段时间内距离从s0变到s0+As,在厶这段时间内质点M所走的距离为As=s（t0+At）-s（t0）,因此在At时间内，质点M的平均速度为若质点作等速运动，平均速度“就是质点M在时刻t°的瞬时速度*）•若质点M的运动是变速的，则"一般不会正好是to的瞬时速度，但At愈小，V就愈接近t°

5、的瞬时速度，所以当△▼()时，V就可较精确的表示出时刻to的瞬时速度.因此，我们用极限v0=v(t0)=lim?=lim—=limS^°+AAt->0AItOAtAtTOAt来定义质点M在时刻t0的瞬时速度.瞬时速度v反映了路程函数s(t)相对时间(变化的快慢程度，称为函数s⑴对于自变最t的变化率.引例2切线的斜率.解如图3・2,求曲线y=f点P处的切线不是孤立的概念，它与已知的割线联系着.在曲线上任意另取一点Q,设它的朋标是x0+Ax,y0+Ay),其中Ax丰O.Ay=f(x0+Ax)-f(x0),则过点P(x0,y0)与Q(x°+Ax,y0+Ay)的割线斜率k'(即△

6、y对Zx的平均变化率)是”=乞=f(Xo+Ax)-f(x°)AxAx当Ax变化时，即点Q在曲线上变化时，割线PQ的斜率k'也随Z变化.当IZxl较小时，取割线PQ的斜率k'作为点P的切线斜率的近似值.当14x1越小，这个近似程度也就越好.于是，当无限趋于0时，叩点Q沿着曲线无限趋于P时，割线PQ的极限位置就是曲线过点P的切线，同时，割线PQ的斜率k'的极限k就是曲线过点P的切线斜率(即y=f(x)在点x°处变化率)即k=tana=lim型=lim心。+从)-f(x°).△xtoAxax->oAx这样就把求曲线在点P处的斜率问题转化成求上面的极限问题.引例3求电流强度.

7、解设电流通过导线的横截面的电量是Q(t),它是时间t的函数，求任一时刻的电流强度.我们知道，在直流电路中，电流强度是单位时间内通过导线横截而的电量，即电量在交流电路中，电流人小是随时间而改变的，不能直接按上述公式求时刻的电流强度.我们可通过以下方法得到:设在t0到t0+At(At丰0)一段时间内通过导线的电量是AQ=Q(t0+At)-Q(t0).因此在这段时间内，平均电流强度i为J竺・At易知，取得越小，i就越接近时刻t°的电流强度i.若当△(-()时，i的极限存在，则平均电流强度i的极限就是时刻5的电流强度.因此，我们定义：