数学中考必备——公式

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1、十字交叉双乘法没有公式，一定要说的话那就是利用x^2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)其中PQ为常数。x^2是X的平方1.因式分解即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯一，因为：数域F上的次数大于零的多项式f(x),如果不计零次因式的差异，那么f(x)可以唯一的分解为以下形式：f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次项的系数，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可约多项式，并且Pi(x)(

2、I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。（*）或叫做多项式f(x)的典型分解式。证明：可参见《高代》P52-53初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等要求为：要分到不能再分为止。2.方法介绍2.1提公因式法：如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解，注意要每项都必须有公因式。例15x3+10x2+5x解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x，接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解。解：原式=5x(x2+2x+1)=5x(x+1)22.2公式法

3、即多项式如果满足特殊公式的结构特征，即可采用套公式法，进行多项式的因式分解，故对于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下：a2-b2=(a+b)(a-b)a2±2ab+b2=(a±b)2a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=(a1+a2+…+an)2a3

4、+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)(n为奇数)说明由因式定理，即对一元多项式f(x)，若f(b)=0，则一定含有一次因式x-b。可判断当n为偶数时，当a=b,a=-b时，均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b，a-b因式。例2分解因式：①64x6-y12②1+x+x2+…+x15解析各小题均可套用公式解①64x6-y12=（8x3-y6）(8x3+y6)=(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2

5、x+y2)(4x2-2xy2+y4)②1+x+x2+…+x15==(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)注多项式分解时，先构造公式再分解。2.3分组分解法当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1)=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)=(m3+1)(m12+m6++1)=(m3+1)[(m6+1)2-m6]=(

6、m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)例2分解因式：x4+5x3+15x-9解析可根据系数特征进行分组解原式=（x4-9）+5x3+15x=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)=(x2+3)(x2+5x-3)2.4十字相乘法对于形如ax2+bx+c结构特征的二次三项式可以考虑用十字相乘法,即x2+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c)当x2项系数不为1时，同样也可用十字相乘进行操作。例3分解因式：①x2-x-6②6x2-x-12解①1x21x-3原式=（x+2）(x-3)②2x

7、-33x4原式=（2x-3）(3x+4)注：“ax4+bx2+c”型也可考虑此种方法。2.5双十字相乘法在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的基本方法，对于比较复杂的多项式，尤其是某些二次六项式，如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也可以运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为：（1）用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图（2）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含y的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和

8、等于原式中含x的一次项例5分解因式①4x2-4xy-3y2-4x+10y-3②x2-3xy-10y2+x+9y-2③ab+b2+a-b-2④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2解①原式=（2x-3y+1）(2x+y-3)2x-3y12xy-3②原式=（x-5y+2）(x+2y-1)x-5y2x2y-1③原式=(b+1)(a+b-2)0ab1ab-2④原式=（2x-3y+z）(3x+y-2z)2x-3yz3