专题7.4 基本不等式及应用（讲）-2017年高考数学（理）一轮复习讲练测（解析版）

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1、【课前小测摸底细】1.【课本典型习题，必修五P113练习第2题】已知直角三角形的面积等于50,两条直角边各为多少时？两条直角边的和最小，最小值为多少？【答案】，20【解析】设两条直角边长分别，因为直接三角形面积为50，即，所以，当且仅当时取等号．2.（2016上海理10）设，若关于的方程组无解，则的取值范围是．【答案】3.【名校学术联盟﹒2015-2016学年度高考押题卷一】若一组数据2，4，6，8的中位数、方差分别为，且，则的最小值为（）A．B．C．D．20名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！【答案】D【解析】由题意得，所以，当且仅当时取等号，选D.4.【基础经典试题】已知，

2、且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，且，所以，选A.5.【改编自2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】设实数满足,则当取得最小值时，的最小值为（）A.B.-C.D.【答案】B[来源:学科网ZXXK]【考点深度剖析】[来源:学科网ZXXK]基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用．【经典例题精析】考点1利用基本不等式证明不等式【1-1】不已知、、都是正数，求证：【解析】∵、、都是正数名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样

3、的高考！∴（当且仅当时，取等号）（当且仅当时，取等号）（当且仅当时，取等号）∴（当且仅当时，取等号）即.【1-2】已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.综合点评：1.在运用时，注意条件、均为正数，结合不等式的性质，进行变形.2.三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.3.在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．【课本回眸】如果，那么（当且仅当时取等号“=”）如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.【方法规律技巧】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整

4、体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【新题变式探究】【变式一】求证:名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！【解析】证明:由基本不等式和得=当且仅当即时取等号.考点2利用基本不等式求最值[来源:Z§xx§k.Com]【2-1】【2017江西模拟】下列函数中，最小值是2的是（）A．B．C．D．【答案】B【2-2】【2016云南玉溪模拟】若正数满足，则取最小值时的值为（）A．1B．3C．4D．5【答案】A【解析】∵正数满足，∴，∴，当且仅当即且名师解读，权威剖析，独家奉献，

5、打造不一样的高考！时取等号，∴取最小值时的值为，故选A．【2-3】【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（）（A）16（B）18（C）25（D）【答案】B【解析】【课本回眸】常见结论：1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）推论：（）2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.[来源:学§科§网Z§X§X§K]推论：（，）；名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！3、【方法规律技巧】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个

6、变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．注意：形如y＝x＋(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．【新题变式探究】【变式一】【2016广西南宁模拟】已知，则的最小值是（）A．B．1C．D．【答案】C【解析】试题分析：由题知,,又知,又得,故本题答案选C.学科网【变式二】【2016湖北七市模拟】已知且，若不等式恒成立，则的最大值等于（）A．10B．9C．8D．7【答案】B考点3基本不等式的实际应用【3-1】【2014高考福建卷第13题】要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器

7、的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）.名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！【答案】88【解析】假设底面长方形的长宽分别为,.则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.【3-2】如图，有一块等腰直角三角形的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形的绿地，已知,，绿地面积最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【3-3】　()某小区想利用一矩形空地