14年高考真题——理科数学(全国大纲版)

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1、2014年高考真题理科数学（解析版）全国大纲版卷2014年普通高等学校招生全国统一考试大纲版卷数学（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，则的共轭复数为（）（A）（B）（C）（D）2．设集合，，则（）（A）（B）（C）（D）3．设，，，则（）（A）（B）（C）（D）4．若向量满足：，，，则（）（A）2（B）（C）1（D）5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）（A）60种（B）70种（

2、C）75种（D）150种6．已知椭圆：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为，则的方程为（）（A）（B）（C）（D）7．曲线在点处切线的斜率等于（）（A）（B）（C）2（D）18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）（A）（B）（C）（D）9．已知双曲线的离心率为2，焦点为、，点在上，若，则（）（A）（B）（C）（D）10．等比数列中，，，则数列的前8项和等于（）（A）6（B）5（C）4（D）3Page-6-of62014年高考真题理科数学（解析版

3、）全国大纲版卷11．已知二面角为，，，为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）（A）（B）（C）（D）12．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的反函数是（）（A）（B）（C）（D）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．的展开式中的系数为。（用数字作答）14．设满足约束条件，则的最大值为。15．直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于。16．若函数在区间是减函数，则的取值范围是。三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）设的内角的对边分别为，

4、已知，，求。18．（本小题满分12分）等差数列的前项和为，已知，为整数，且。⑴求的通项公式；⑵设，求数列的前项和。19．（本小题满分12分）如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，，。⑴证明：；⑵设直线与平面的距离为，求二面角的大小。Page-6-of62014年高考真题理科数学（解析版）全国大纲版卷20．（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为，各人是否需使用设备相互独立。⑴求同一工作日至少3人需使用设备的概率；⑵表示同一工作日需使用设备的人数，求的数学期望。21．（本小题

5、满分12分）已知抛物线：的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且。⑴求的方程；⑵过的直线与相交于两点，若的垂直平分线与相较于两点，且四点在同一圆上，求的方程。22．（本题满分12分）函数。⑴讨论的单调性；⑵设，，证明：。2014年普通高校招生全国统考数学试卷全国大纲版卷解答一．DBCBCACAACBD二．13．70；14．5；15．；16．17．解：由题设和正弦定理得，故。因，故，即，有。又，故。18．解：⑴由，为整数知，等差数列的公差为整数。又，故，。于是，，解得，因此，故数列的通项公式为；⑵，于是。19．

6、解：⑴平面，平面，故平面平面。又Page-6-of62014年高考真题理科数学（解析版）全国大纲版卷，故平面。连结，因侧面为菱形，故。由三垂线定理得；⑵平面，平面，故平面平面。作，为垂足，则平面。又直线平面，因而为直线与平面的距离，。因为的角平分线，故。作，为垂足，连结，由三垂线定理得，故为二面角的平面角。由得为的中点，，。故二面角为。20．解：记表示事件：同一工作日乙、丙恰有人需使用设备，；表示事件：甲需使用设备；表示事件：丁需使用设备；表示事件：同一工作日至少3人需使用设备。⑴因，，，故；⑵的可能取值为。，

7、，，，。因此。21．解：⑴设，代入得，故，。由题设得，解得（舍去）或，故；⑵由题设知与坐标轴不垂直，故可设：，代入得。设，则，。故的中点为Page-6-of62014年高考真题理科数学（解析版）全国大纲版卷，。又的斜率为，故的方程为，代入得。设，则，。故的中点为，。由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而，即，化简得，解得。所以直线的方程为或。22．解：⑴定义域为，。①当时，若，则，在上是增函数；若，则，在上是减函数；若，则，在上是增函数；②当时，，当且仅当时取等，在上是增函数；③当时，若，则，在是上是增函

8、数；若，则在上是减函数；若，则在上是增函数；⑵由⑴知，当时，在单增，时，，即。又由⑴知，当时，在单减；当时，，即。下面用数学归纳法证明。①当时，，故结论成立；②假设时结论成立，即。当时，，，故当时结论成立。Page-6-of62014年高考真题理科数学（解析版）全国大纲版卷根据①、②知对任何结论都成立。Page-6-of6