2014年高考真题——理科数学(北京卷)解析版

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1、2014·北京数学理卷一、选择题1.[2014•北京理卷]1.已知集合，则()【答案】C【解析】∵，∴.2.[2014•北京理卷]下列函数中，在区间上为增函数的是（）【答案】A【解析】由初等函数的性质得选项B在上递减，选项C、D在为减函数，所以排除B、C、D.3.[2014•北京理卷]曲线（为参数）的对称中心（）在直线上在直线上在直线上在直线上【答案】B【解析】曲线方程消参化为，其对称中心为，验证知其满足.4.[2014•北京理卷]当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）【答案】C【解析】.5.[2014•北京理卷]设是公比为的等比数列，则是为递增数列的（）

2、充分且不必要条件必要且不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当时，数列递减；时，数列递增，.理数6.E5[2014•北京理卷]若满足且的最小值为-4，则的值为（）【答案】D【解析】可行域如图所示，当时，知无最小值，当时，目标函数线过可行域内点时有最小值，联立，解之得，，即.7.[2014•北京理卷]在空间直角坐标系中，已知，，，，若，，分别表示三棱锥在，，坐标平面上的正投影图形的面积，则（）（A）（B）且（C）且（D）且【答案】D【解析】设顶点在三个坐标面、、的正投影分为、、，则，，∴，，.8.[2014•北京理卷]有语文、数学两学科，成绩

3、评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若同学每科成绩不低于同学，且至少有一科成绩比高，则称“同学比同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】假设AB两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的.因为数学成绩只有3种，因而同学数量最大为3.即3位同学成

4、绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件.二、填空题9.[2014•北京理卷]复数________.【答案】【解析】.10.[2014•北京理卷]已知向量、满足，，且，则________.【答案】【解析】∵，∴，∴.11.[2014•北京理卷]设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________.【答案】；【解析】设双曲线的方程为，将代入，∴双曲线方程为.令得渐近线方程为.12.[2014•北京理卷]若等差数列满足，，则当________时的前项和最大.【答案】8【解析】∵，，∴，∴时数列前和最

5、大.13.[2014•北京理卷]把5件不同产品摆成一排，若产品与产品不相邻，则不同的摆法有_______种.【答案】36【解析】.14.[2014•北京理卷]设函数，，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为________.【答案】【解析】结合图象得，即.15.[2014•北京理卷]如图，在中，，点在边上，且（1）求（2）求的长解：（I）在中，因为，所以.所以=.（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得,所以.16.[2012•北京理卷]李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命

6、中率超过的概率.（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过，一场不超过的概率.（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这比赛中的命中次数，比较与的大小（只需写出结论）.解：(I)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是05.（Ⅱ）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件

7、C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”。则C=，A,B独立。根据投篮统计数据，.，所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为.（Ⅲ）.17.[2014•北京理卷]如图，正方形的边长为2，分别为的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点.（1）求证：；（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.解：（I）在正方形中，因为B是AM的中点，所以∥。又因为平面PDE，所以∥平面PDE，因为平面ABF，且平面平面，所以∥.（Ⅱ）因为底面ABCDE

8、,所以，.如图建立空间直