2014年重点大学自主招生数学模拟试题

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1、2014年重点大学自主招生数学模拟试题一、选择题（每题5分，共40分）1.集合．若，时，，则运算可能是（）A．加法　减法　乘法　　B．　加法　　乘法C．加法　减法　除法D．　乘法　　除法2．某城市2010年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率其中，污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2010年空气质量达到良或优的概率是（）A．B．C．D．3.已知，，则与的大小关系是（）A．B．C．D．4.对一位运动员的心脏跳动检测了8次，得到如下表所示的数据：

2、检测次数123456[来源:Z#xx#k.Com]78检测数据（次/分钟）3940424243454647上述数据的统计分析中，一部分计算见如右图所示的程序框图（其中是这8个数据的平均数），则输出的的值是（）A.5B.6C.7D.95.如果，且，那么角的取值范围是（　）A.B.C.D.6.已知“*”表示一种运算，定义如下关系：（1）;（2）.则()第11页共11页A.B.C.D.7.路灯距地面8m，一身高1.6m的人沿穿过灯下的直路以84m/min的速度行走，则人影长度变化速率（要求以m/s为单位）是（　　）A．m/sB．m/sC．m/sD．m/s8.已知氢

3、元素有三种同位素分别为、、，氧元素也有三种同位素分别为、、，则由这些原子构成的不同的水分子共有（）A.18　　B.24　　　C.9　　D.36二、填空题（每题5分，共30分）9.在等比数列中，，其前项的和为，若是和的等差中项，则_________．10.函数，其反函数为，则_________．11.已知动点满足，为坐标原点，则的最小值是_______，最大值是_______.12.方程的实数解为________________.13.若表示不超过实数的最大整数，，则=_____.14.一只小船以10m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一

4、辆汽车由西向东以20m/s的速度前进，如右图．现在小船在水平P点以南的40米处，汽车在桥上以西Q点30米处（其中PQ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为.（不考虑汽车与小船本身的大小）.三、解答题15.（13分）求的值．第11页共11页16.（13分）已知为某个正整数，是将的各位数字作任意排列之后而得到的两个数，求证：17.（14分）已知抛物线上三点、、满足，求的外接圆面积的最小值．18.（14分）已知函数在定义域内连续．（1）求的单调区间和极值；（2）当m为何值时，不等式恒成立？（3）给出定理：若函数上连续，并具有单调性，且满足异号，则方程内有唯一实根．试

5、用上述定理证明：当时，方程内有唯一实根．（e为自然对数的底；参考公式：．）第11页共11页19.（13分）已知数列的各项都是正数，为正整数，且满足关系，求证：对于所有不小于2的自然数，都有成立．20.（13分）设的三内角A,B,C对应的边长分别为,,，且，边上的高为，求证：（1）；（2）；（3）第11页共11页参考答案：一、选择题1.B.显然知道，对于加法和乘法满足问题的要求．2．A．因为P（T，P（50，所以，空气达到优或良的概率为P=.3.C．由于，得，于是，所以．4.C．该程序框图的功能是输出这8个数据的方差，因为这8个数据的平均数，故输出的s的值为7

6、．5.C.注意到不等式等价与　　　　　　　　　　，显然是上的增函数，于是有不等式，从而，得，再结合，便得．6.C.设，于是有，则数列是等比数列，所以，得7.A．==5.　　　　　　∴OM=4BM，同理ON=4CN，两式相减，可知，人影长的变化BM－CN=(OM－ON)第11页共11页=MN=·△t·84m/min，∴V==21m/min=m/s.8.A.　一个水分子（）由2个氢原子和1个氧原子组成.（1）若2个氢原子是同一元素，则有钟不同的水分子；（2）若2个氢原子不是同一元素，则有钟不同的水分子；故共有＝18种不同的水分子.二、填空题9..设等比数列的公比

7、为，显然．由题意，得，化简得，解之，得或（舍）或（舍），所以.10.0．由变形，得，解这个关于的一元二次方程，求得正根为，所以，将与互换，得故于是所以．11.0，.方程可以转化化为：第11页共11页，所以动点的轨迹如图：为原点和四段圆弧．当点P为原点O时，；由对称性，仅考虑第一象限内的圆，显然，当点P为点（1，1）时，12.或.对方程：分两种情况讨论：（1）当0时，即或时，方程转化为,解得.因为，应舍去，于是.（2）当时,即,方程转化为,解得,.所以，方程的实数解为或.13.2..注意到，，所以，即，故14..30m.．设经过时间t汽车在A点，船在B点，如图

8、２，则有AQ=30–20t,BP=40–10t,PQ