13.4 课题学习 最短路径问题教学设计

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1、13.4课题学习最短路径教学设计教材分析：本节课是十三章轴对称的最后一节，教科书在这一节里安排了两个问题，分别是“牧马人饮水问题”和“造桥选址问题”，解决这两个问题的关键是通过轴对称和平移的变换把问题转化为关于两点之间，线段最短的问题，在解决这两个问题的过程中渗透了“化归”的数学思想。目标分析：通过本节课两个问题的探究，进一步熟悉轴对称作图和平移作图的技能，体会如何用这些素材和本章所学的轴对称的知识解决最短路径的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，获得解决这类问题的基本经验，发展空间观念，激发学生学习数学的兴趣。学情分析：七年级学生在上学期学过两点之间线段最短，垂

2、线段最短，这样的最短路径的问题，下学期学习了平移的基本知识，在本章的前面也才学习了作点关于直线的对称点的方法，这是学生已有的知识基础，同时，八年级的学生经过初中一年多的学习，已经有了一些图形变换和模型构建的意识，并且具有一定的转化思想的运用的活动经验，也具备了一定的主动参与，合作交流的意识，具有一定的观察，分析、归纳、猜想和解决问题的能力。教学目标：知识与技能：会用轴对称和平移解决最短路径的问题。数学思考：在探究问题的过程中，尝试使用转化思想将实际问题转化为数学问题，将未知转化为已知这种数学思想方法。问题解决：通过学生自主学习和合作探究，解决求最短路径的实际问题。情感态度价值观

3、：学生在合作探究中获得解决问题的经验和套路，激发学生学习数学的内在兴趣。教学重点：问题1的思路的获取和问题的解决。教学难点：问题2的解决。教学方法：问题探究教学法。教学用具：三角板、多媒体课件。教学过程：一、创设情境引入新课传说在古罗马，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题，精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．同学们，你知道问题的答案吗？你能想象海伦是怎么解决这个问题的吗？二、问题引领，层层递进1、如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会

4、选走哪条路最近？你的理由是什么？2、如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两村供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？三、观察猜想、动手实践探究问题1如图，牧马人从马棚A牵马到河边l饮水，然后再到帐蓬B．问：在河边的什么地方饮水，可使所走的路径最短？问题1：前面我们已经解决了两点在直线两侧的最短路径的问题，下面请同学们思考尝试，若这两点都在直线的同侧，该怎样找到那样的点P使得AP与BP的和最小？预设思路：化同侧为两侧。问题2：若找到了那样的点，请证明结论的正确性。先用几何画板验证然后再证明。通过这道题的证明得到两点经验：（1）这类求最短路径的问题，就是运

5、用转化的思想利用轴对称化同侧为两侧利用两点之间线段最短来解决；（2）在证明最大或最小的问题时，通常取另外一个量与要求的最大或最小的量进行比较来证明。同步练习探究问题2（造桥选址问题）A和B两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥MN。造桥在何处可以使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）问题3：本题又变成了点在线的两侧的问题，但一条直线拓宽成了一条河，请同学们思考，现在要在河上造一座桥MN。造桥在何处可以使从A到B的路径AMNB最短？分析：由于河宽是固定的，造的桥要与河垂直，因此路径中的MN的长度是固定的，即只需要AM+BN的值最小就可以了，关

6、键是这一段如何体现，实际上可以把这条河宽看作是一条直线变宽形成的，如此一来就和平移挂起钩来，这样方案就有了。问题4：如何证明你的结论？拓展训练：如果A和B之间有两条平行的河，我们要建的桥都是要与河岸垂直的，如何找到这个最短路径呢？四、小结提炼1、将军饮马类型问题解决的套路是什么？2、在造桥选址问题上获得什么经验？3、解决路径最短问题上，我们常采用的图形变换是什么？目的何在？五、作业布置六、拓展练习pBACMNM如图,已知在等腰△ABC中,∠ABC=120o,P是底边AC上的一个动点,M、N分别是AB、BC的中点,若PM+PN的最小值为2，求△ABC的周长.