静电场边值问题唯一性定理

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1、§2.6电位微分方程与边值问题2.6.1泊松方程与拉普拉斯方程推导电位微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：泊松方程注意：泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。拉普拉斯方程——拉普拉斯算子第二类边界条件第一类边界条件第三类边界条件自然边界条件分界面衔接条件场域边界条件图2.6.2边值问题框图微分方程边界条件边值问题2.6.2边值问题场域边界条件1）第一类边界条件（狄里赫利条件Dirichlet)2）第二类边界条件（诺依曼条件Neumann)3）第三类边界条件（若宾条件Robin)已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上的电位分

2、布已知边界上电位的法向导数(对于导体，即电荷面密度，或电力线)求解边值问题注意事项：1．根据求解场域内是否有存在，决定电位满足泊松方程还是拉氏方程，然后判断场域是否具有对称性，以便选择适当的坐标系。2．正确表达边界条件，并利用它们确定通解的待定常数。3．若所求解的场域内有两个（或以上）的均匀介质区域，应分区求解。不能用一个电位函数表达两个区域的情况。这时会出现4个积分常数，还需考虑介质分界面上的衔接条件来确定积分常数。4.对于开域问题，还需给出无限远处的自然边界条件。当场域有限分布时，应有：即：至少按一次方反比变化，通常可简单取自然边界条件例2.4.

3、1列出求解区域的微分方程图2.6.1三个不同媒质区域的静电场边值问题研究方法解析法数值法实测法模拟法定性定量积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法有限差分法有限元法边界元法矩量法模拟电荷法数学模拟法物理模拟法图2.6.3边值问题研究方法框图计算法实验法作图法例2.6.1图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为，并且在两导体之间接有电源U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。解：根据场分布对称性，确定场域。（阴影区域，1/4原区域）场的边值问题图2.6.4缆心为正方形的同轴电缆横截

4、面边界条件积分得通解例2.6.2设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。解:采用球坐标系,分区域建立方程参考点电位图2.6.5体电荷分布的球形域电场解得电场强度（球坐标梯度公式）：对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数）求解过程：(1)对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解(2)利用边界条件求得积分常数，得到电位的解(3)再由得到电场强度E的分布。电位：2.唯一性定理的重要意义可判断静电场问题的解的正确性：2.6.2唯一性定理1、唯一性定理在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程（泊松

5、方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理。唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。例2.6.3图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？答案：（C）图2.6.7平板电容器外加电源U0思路：将边界条件代入，看是否满足作业：2.12，2.15，2.17，2.19