边值问题和唯一性定理(静电场)

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1、静电场边值问题唯一性定理静电场的边值问题静电场的唯一性定律1目前可解决的静电场问题电荷在有限区域内，电荷的分布情况已知，并且介质为线性各向同性均匀介质中的静电场问题。对于此类问题，一般可以先求出电位，再计算场中各点的电场强度和电位移矢量。电荷、介质分布具有某种对称性的问题。由于电荷和介质的分布具有对称性，因此电位移矢量的分布必然也具有对称性。在这种情况下，可以先用高斯通量定理求解电位移矢量，然后再求电场强度。已知电场的分布求电荷分布的问题。在这种情况下，可直接由公式计算电荷的体密度，导体上的面电荷密度根据分界面条件确定。2静电场边值问题的提出实际中

2、对于很多电磁场的问题通常并不知道电荷分布，如静电场中导体表面的感应电荷分布，介质极化后极化电荷的分布等。对于此类的问题，必须通过求解满足给定边界条件的电位微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程）的电位函数，进而再求场域中的电场强度。我们把这种在给定边界条件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程的问题称为边值问题。3边值问题已知场域边界上各点电位值自然边界条件微分方程边界条件场域边界条件分界面衔接条件第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件已知场域边界上各点电位的法向导数一、二类边界条件的线性组合静电场边值问题框图4泊松方程与拉普拉斯方程5泊松方程拉普拉斯方程泊

3、松方程与拉普拉斯方程注意：泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质三个不同媒质区域的静电场分区域列写方程6泊松方程与拉普拉斯方程对于各向同性、线性的非均匀媒质，电位满足的微分方程又是什么形式呢？7例设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为r，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。（同例2-4）边值问题举例－直接积分法解:采用球坐标系,分区域建立方程8边界条件积分之，得通解电位参考点电场强度（球坐标梯度公式）：电位：确定积分常数9唯一性定理在静电场中,满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或者拉普拉斯方程)的解

4、是唯一的。(反证法自学)10反设满足场的解答有两个相异的解答j1和j2，则差场u=j1-j2满足拉普拉斯方程根据矢量恒等式在整个场域求积分，并利用高斯散度定律式中：S0是体积的无限远边界11由于无穷远S0处电位为零，因此若导体边界为第一类边界条件，则对于差场u，其边界为齐次第一类边界条件，即则代入（＃）中，则12若导体边界为第二类边界条件，则即j1和j2相差一个常数，但这不影响电场强度值（电场强度是电位函数的负梯度）。代入（＃）中，则综上，电位函数相等或者相差一个常数，此时电位函数可确定同一电场强度解答，静电场的唯一性定理得证。13唯一性定理的意义

5、在求解时，首先判断问题的边界条件是否满足。当满足边界条件时，就可以断定解是唯一的。可以用来判断静电场问题解答的正确性。用不同的方法得到的解答(试探解、数值解、解析解)往往具有不同的数学形式，在这种情况下可以用唯一性定理判断它们的正确性。为我们用其它间接方法求解静电场问题提供了理论依据，或者说无论用什么方法获得静电场的解答，只要解答满足唯一性定理，该解答就是唯一正确的解答。14唯一性定理的意义下面将要介绍的镜像法、电轴法等便是巧妙地利用唯一性定理，用等效电荷替代原来的分布电荷，求得满足唯一性定理的解答，从而使问题的求解大为简化。15