柱的纵向受力变形分析

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1、短柱—承受轴向力之变形短柱（即L/d较小时）承受轴向外力或负载时，仅仅会表现出压缩的变形，如下图，横截面面积为A的短柱此时的压缩应力很容易得到。f=P/AP短柱—承受偏心外力的变形当短柱受到偏心距离e的外力或负载作用时，不仅有压缩的变形，还会弯曲。这是在分析应力是就应该是两者之和。剖面等值分布应力为f0=P/A剖面弯曲应力fb=P*e*y/I则距离y,y1,y2各层的合成应力分别为f=f0+fb;f1=P/A+P*e*y1/I=f0(1+e*y1/k^2)f2=f0(1-e*y2/k^2)上几式中I=k^2A,其中I为剖面二

2、次矩，k为回转半径eyy1y2P长柱的稳定性概念、临界压力在工程中，构件除了因为强度或刚度不够而发生断裂、变形过大而无法正常工作时，还存在另外一种破坏形式，即构件丧失稳定性而失去承载能力。例如一条长钢锯，横截面为10mm^2,钢的许用应力为300MPa，则此钢锯能承受的轴向压力为3KN。但在轴向压力不到30N时，锯条就会被明显压弯而无法正常工作。由此可见，长柱即细长压杆的承载能力并不取决于轴向抗压强度，而取决于长柱受压时是否能保持直线形态的平衡。若将外加压力考虑成与轴线重合的理想长柱力学模型，则将长柱由直线稳定平衡转化为不平

3、衡时所受到的轴向压力的极限值称为临界压力。长柱的临界压力分析现在以两端圆端的长柱为例来推导临界压力的计算公式。x方向的弯矩方程为M=-Pw(w为挠度，符号与M相反)当为小变形时，根据挠曲线的近似微分方程,记i^2=P/EI,则有后一个微分方程通解为：w=Asinix+Bcosix根据长柱边界条件：x=0和x=L时，w=0可得B=0,Asanix=0即iL=n，i=n/L,得到P=n^2^2EI/L^2,当n=1时，得到最小的压力即临界压力P=^2EI/L^2，即此类长柱的欧拉公式。其中I为横截面最小的二次矩。PxLw

4、其它端点条件长柱的临界压力对于端点束缚为其它条件的长柱临界压力除了可以采用之前挠曲线微分方程来推导以为，大部分还可以采用类比的方法来得到。例如一端固定，一端自由的长柱(a)，其挠曲线形状和长度为2L两端圆端的长柱(b)上半段AC相同则根据前面的推理(a)所示长为L长柱的临界压力和(b)所示长为2L的长柱临界压力相同，将2L带入其欧拉公式得到：P=^2EI/4L^2L2LACACB(a)(b)长柱临界压力公式的统一形式由以上的推理和类比法,可知虽然长柱的两端的约束条件各不相同,但是其欧拉公式是基本相同的,差别只是在一个常系数

5、上,于是得到长柱临界压力公式的统一形式:P=n*^2EI/L^2其中n便是不同束缚条件下的常系数，其值可以用挠曲线微分方程推理或者查表得到。长柱的临界应力公式将临界压力P除以长柱的横截面面积A求得的应力，称为长柱的临界压力：σ=n*^2EI/A*L^2将I=k^2*A带入，并记λ^2=n(k/L)^2,则得到σ=(λ)^2*E其中λ为一无量纲参数，称为长柱的柔度或c长细比，反映了长柱长度、约束条件、截面形状和尺寸对临界应力的影响。因注意的是欧拉公式只有在临界压力不超过材料的比例极限时才是正确的。提高长柱稳定性的措施1.

6、选择合理的截面从欧拉公式看，截面的二次矩I越大，即回转半径k越大，临界压力P就越大。即增加截面面积，或者在截面面积不变的情况下仅可能把材料放在离截面形心较远的地方，可以提高其稳定性。例如在截面面积不变的情况下，空心环形截面就比实心圆型截面更加合理。当然也不能一味增加其环形截面而并减小其壁厚，这有可能将造成局部失稳。提高长柱稳定性的措施2.改变长柱的约束条件和合理选择长柱从欧拉公式看，长柱的支座和约束条件可以影响其系数n的大小，当合理选择约束条件使n较大时，稳定性明显提高，比如两端固定的长柱的临界压力就比两端圆端的长柱提高了4

7、倍。3.合理选择材料由公式可知，在材料弹性模量E较大时，长柱的稳定性明显提高。但对于各种钢材其E值大致相等，所以对于受到轴向外力的长柱，选择优质钢材和低碳钢差别不大。