2013高考真题分类汇编空间向量

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1、立体几何中的向量方法1.（2013·北京高考理科·Ｔ17）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（3）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值.【解题指南】（1）利用面面垂直证明线面垂直.（2）建系，求出二面角对应两个面的法向量，利用法向量的夹角求二面角的余弦值.（3）设出D点坐标，利用向量解题.【解析】（1）是正方形，。又，。（2），。分别以为建立如图所示的

2、空间直线坐标系。则，，，-28-，设平面的法向量为，平面的法向量，，，。可得可取。。由图可知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以余弦值为。（3）点D的竖轴坐标为t(0

3、在的平面，得平面;又平面，得；又所以，又因为-28-据面面垂直判定定理，平面平面;过点作∥,由知平面.如图所示，以点为坐标原点，分别以直线为轴，建立空间直角坐标系。在直角三角形ABC中，所以又所以故设平面的法向量为则不妨令，则故设平面的法向量为，由同理可得于是结合图形和题意，二面角的余弦值为第19题解答图13.（2013·湖北高考理科·T19）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点.-28-第19题图（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为，试判断直线与平面PAC的

4、位置关系，并加以证明。（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线与圆O的另一个交点为D，且点Q满足,记直线PQ与平面ABC所成的角为，异面直线异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E--C的大小为，求证：【解题指南】（Ⅰ）利用线面平行的判定和性质定理求解.（Ⅱ）用综合法,利用三角函数证明或用向量法,利用法向量的夹角证明.【解析】（Ⅰ）直线∥平面，证明如下：第19题解答图1连接，因为，分别是，的中点，所以∥.又平面，且平面，所以∥平面.而平面，且平面平面，所以∥.因为平面，平面，所以直线∥平面.（Ⅱ）方法一：如图1，连接，由（Ⅰ）可知交线即为直线，

5、且∥.因为是的直径，所以，于是.已知平面，而平面，所以.而，所以平面.连接，，因为平面，所以.故就是二面角的平面角，即.-28-由，作∥，且.连接，，因为是的中点，，所以，从而四边形是平行四边形，∥.连接，因为平面，所以是在平面内的射影，故就是直线与平面所成的角，即.又平面，有，知为锐角，故为异面直线与所成的角，即，于是在△，△，△中，分别可得，，，从而，即.第19题解答图2方法二：如图2，由，作∥，且.连接，，，，，由（Ⅰ）可知交线即为直线.以点为原点，向量所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则有,.于是，，

6、，所以，从而.又取平面的一个法向量为，可得，设平面的一个法向量为，所以由可得取.于是，从而.-28-故，即.4.（2013·重庆高考理科·Ｔ19）如图，四棱锥中，⊥底面，，，，为的中点，⊥．（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求二面角的正弦值．【解题指南】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标根据⊥可求出的长，再通过求平面的法向量可以求出二面角的正弦值.【解析】（Ⅰ）如图,连接交于,因为,即为等腰三角形,又平分,故,以为坐标原点,的方向分别为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系,则而,得.又故因⊥底面，可设,由为边中点,又.因⊥．故即-28-

7、(舍去),所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知设平面的法向量为平面的法向量为由得因此可取.由得因此可取从而法向量夹角的余弦值为故二面角的正弦值为5.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ18）如图，三棱柱中，，，.（Ⅰ）证明;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.【解题指南】(Ⅰ)取AB的中点,利用线面垂直证明线线垂直.(Ⅱ)利用面面垂直确定线面垂直,找出直线A1C与平面BB1C1C所成的角,或建立空间直角坐标系求解.【解析】（Ⅰ）取的中点，连结，，.-28-因为，所以.由于，，故为等边三角

8、形，所以.因为，所以面.又平面，故.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，又平面平面，交线为，所以平面，故，，两两互相垂直.以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系则有，,,.则，，.设平面的法向量为，-28-则有，即，可取.故所以直线与平面所成角的正弦值为