中考最值与对称

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1、动点到定点的距离最值问题一、线段和最小问题：1．两定点，一动点，两段和最小：异侧（思想方法：转化思想，转化在同一个三角形中来做）已知：点A(a,b)、B(m,n)在直线l：y＝kx＋b两侧，点P是直线l上任意一点，当PA＋PB最短时，求P的坐标。理论依据：①两点之间，线段最短；②三角形任意两边之和大于第三边。解法：连接AB与动直线l的交点即为点P；此时，P′A＋P′B≥PA＋PB＝AB。过程：求出直线AB的解析式y＝mx＋n，与直线l：y＝kx＋b联立成方程组y=mx+ny=kx+b，解方程组，方程组的解

2、就是点P的坐标。分类：①当l⊥x轴时，P′与P的横坐标相等；②当l⊥y轴时，P′与P的纵坐标相等；③当l不与坐标轴垂直时，求出AB的解析式后与直线l的解析式联立成方程组，解这个方程组，方程组的解就是点P的坐标。2．两定点，一动点，两段和最小：同侧（思想方法：转化思想，将同侧转化为异侧来做）已知：点A(a,b)、B(m,n)在直线l：y＝kx＋b同侧，点P是直线l上任意一点，当PA＋PB最短时，求P的坐标。理论依据：①两点之间，线段最短；②三角形任意两边之和大于第三边。解法：作一个定点如点B关于直线l的对称

3、点B′，连接AB′与动直线l的交点即为点P；此时，P′A＋P′B≥PA＋PB′＝AB′。过程：先求点B的对称点B′的坐标，再求直线AB′的解析式y＝mx＋n，与直线l：y＝kx＋b联立成方程组y=mx+ny=kx+b，解方程组，方程组的解就是点P的坐标。分类：①当l⊥x轴时，P′与P的横坐标相等，点B与点B′的纵坐标相等，点C是BB′的中点，可用中点坐标公式求B′的坐标，也可由BC＝B′C，用平移法求B′的坐标；②当l⊥y轴时，P′与P的纵坐标相等，点B与点B′的横坐标相等，点C是BB′的中点，可用中点坐

4、标公式求B′的坐标，也可由BC＝B′C，用平移法求B′的坐标；③当l不与坐标轴垂直时，第一步：由于BB′⊥l于点C，可得直线BB′的斜率m与直线l的斜率k互为负倒数，得m＝－，得直线BB′：y＝－x＋n，再把已知点B的坐标代入得到n，从而得出直线BB′的解析式y＝mx＋n；第二步：把y＝mx＋n与直线l：y＝kx＋b联立成方程组y=mx+ny=kx+b，解方程组，方程组的解就是点C的坐标；第三步：用中点公式x=y=或平移法（B到C的平移规则与C到B′的平移规则一样）得到B′的坐标；第四步：连接AB′，求出

5、直线AB′的解析式y＝px＋q；第五步：将直线AB′和直线l联立成方程组y=px+qy=kx+b，解这个方程组，解为点P的坐标。3．两定点，两动点，两段和最小：异侧（思想方法：转化思想，转化为一个动点来做）已知：点A(a,b)、B(m,n)在直线l：y＝kx＋b两侧，点P、Q是直线l上任意两点，PQ＝a，当PA＋QB最短时，求P的坐标。理论依据：①两点之间，线段最短；②三角形任意两边之和大于第三边。解法：将一个定点如点B沿QP方向平移a个单位得到点B′，连接AB′与动直线l的交点即为点P；此时，PA＋QB

6、＝PA＋PB′≥AB′。过程：由平移求出点B的对应点B′的坐标，再求直线AB′的解析式y＝mx＋n，与直线l：y＝kx＋b联立成方程组y=mx+ny=kx+b，解方程组，方程组的解就是点P的坐标。分类：①当l⊥x轴时，点P与点Q及点B与点B′的横坐标相等，点B′的纵坐标等于点B的纵坐标加或减a，从而得到点B′的坐标，再求出直线AB′的解析式与直线l的交点即为点P。②当l⊥y轴时，点P与点Q及点B与点B′的纵坐标相等，点B′的横坐标等于点B的横坐标加或减a，从而得到点B′的坐标，再求出直线AB′的解析式与直

7、线l的交点即为点P。③当l不与坐标轴垂直时，第一步：过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QR⊥PS于R，由直线l的｜k｜＝PR：QR，用勾股定理得出PR与QR之间的比例关系，由平移知点B与点B′的坐标之间的关系同点P与点Q的坐标之间关系一致，从而得出点B′的坐标。第二步：求出直线AB′的解析式y＝mx＋n，再与直线l：y＝kx＋b联立成方程组y=mx+ny=kx+b，解方程组，方程组的解就是点P的坐标；应用：（1）如图，F、G两个村庄分别位于河流的两岸，现要在河上修一座桥MN，桥修在何处时，F、G两村之间的路

8、程最短？解法：这个题目与类型①相同，将F村向河流方向平移河的宽度得到点F′，连接F′G，与G岸相交于点M，过M作MN垂直河岸，交另一岸于点N，连接FN，则MN就是就是修桥的位置。　　　　　　　　　　　　　　　图1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2（2）如图，直线l⊥x轴于点C，从点A出发先到达直线l上的任意一点M，再沿过M垂直于l的直线运动到达y轴上的点N，最后从N出发到达点B，当点M在何处时，所走过的路程最