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1、第五节函数的微分一、微分的定义设边长为x0的一块正方形金属片，均匀受热后其边长增加了△x，问此片的面积增加了多少？设受热后金属片的边长为x，则面积为x2=（x0+△x)2受热后面积的增量为△xx0△xx0定义如果函数y=f(x)在点x0的增量能分成两部分的和,其中一项为的线性函数A△x(A与△x无关),另一项是较△x高阶的无穷小,则称函数y=f(x)在x0点可微,并称A△x为函数y=f(x)在点x0的微分记作dy
2、x=x0或df(x)
3、x=x0即当A≠0时,把A△x叫做△y的线性主要部分当△x很小时,我们可把函数的增量看为函数的微分.设函数y=f(x)在点x0可微,根
4、据定义则有下面我们研究可导和可微的关系(1)可微就可推出可导(2)可导也可推出可微如果y=f(x)在点x0可导,即有由极限和无穷小的关系,得到所以,f(x)在点x0可导,且A=f‘(x0).上面表示可微可导由于f’(x)和△x无关,且所以上式相当(1)式,定理函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是f(x)在点x0今后我们把可导和可微不严格区分而混合使用.dy/dx可看成除法的形式.f(x)在点x0可微.且可导,且例1求函数y=x4在x=3处的微分解:dy
5、x=3=(x4)’
6、x=3△x=4x3
7、x=3△x=108△x例2求函数y=x3-x当x=2,△x=0.01时的
8、微分解:dy
9、x=2=(x3-x)’
10、x=2△x=(3x2-1)
11、x=2△x=11*0.01=0.11二.微分的几何意义为了对微分有比较直观的了解,我们来说明微分的几何意义。在直角坐标系中，函数y=f(x)的图形是一条曲线。对于某一固定的值x0，曲线上有一个确定点M(x0,y0)，当自变量x有微小增量△x时,相应函数有微小增量△y，从而得到曲线上另一点N(x0+△x,y0+△y)x0x0+△xY=f(x)dy△xMNQP△yαT从图可见MQ=△x,QN=△y过M点作曲线的切线MT,它的倾角为α,则QP=MQ·tgα=△x·f’(x0)即dy=QP由此可见,当△y是曲线
12、y=f(x)上点的纵坐标的增量时,dy就是曲线上相应点的切线纵坐标的增量,当
13、△x
14、很小时,
15、△y-dy
16、比
17、△x
18、小得多，因此在点M邻近，可用切线段来近似代替曲线段.三.基本初等函数的微分公式与微分运算法则从函数微分表达式dy=f’(x)dx可以看出要计算函数的微分值是把函数的导数，再乘以自变量的微分。由此可得如下微分公式和微分运算法则.同学们,如果能将此表从左到右,或从右到左地记熟它们,对今后的演算积分是大有好处的.三.微分形式的不变性与复合函数求导法则相对应的微分运算法则为下面的微分形式不变性质.设y是由y=f(u)，u=g(x)复合而成的x的函数，则由对照dy
19、=yx’dx,公式dy=yu’du说明不论u是自变量还是中间变量,函数微分的形式是完全一样的,此即称为微分形式不变性质.例4利用函数微分的不变性,求函数y=e1-2x2的微分和导数解:将1-2x2看成中间变量u利用微分不变性质求函数的微分,比直接用公式dy=f’(x)dx求微分更有规律性,不容易出错.例5求函数的微分四.微分在近似计算中的应用1.近似计算如果函数y=f(x)在点x0处可导，且f’(x0)≠0，我们知道当
20、△x
21、很小时有近似公式:△y~dy即如果知道f(x0)，f’(x0)就可以利用(1)式计算增量△y,利用(2),(3)式计算函数值。特别是若x0=0,
22、x在原点附近,有△x=x,当
23、x
24、很小时,由(4)式可推出下列常用的近似公式:例1计算sin60020’的近似值解:将60020’化为弧度,得到令x0=π/3,△x=π/540,要求x0比△x大很多,否则不精确例2计算的近似值例3计算的近似值二.微分在误差估计中的应用设某个量的准确值为A,它的近似值为a，则A与a之差的绝对值
25、A-a
26、叫做a的绝对误差，而绝对误差与
27、a
28、的比值叫做相对误差.在实际中准确值A往往无法知道，所以绝对误差和相对误差没有办法得到。但根据某些条件或加工要求，有时能确定误差在某一个容许范围δA之内，有
29、A-a
30、≤δA则称δA为A的绝对误差限,把δA
31、/
32、a
33、称为A的相对误差限。有时也把它们称为A的绝对误差与相对误差.例4测得某圆半径r=22.5cm,测量r的绝对误差限δr=0.1cm,计算这圆面积A的绝对误差限为多少?例5计算球的体积时,要精确度在2%之内,问这时测量直径D的相对误差不能超过多少?解:设球的体积为V,则V＝πD3/6两边取对数即测量直径D的相对误差不能超过0.6%解:在这里我们把微分进行小结,微分和导数一样是微积分的基本概念在理解微分的概念时,要注意以下几点:(1)函数的微分是函数改变量(函数增量)的线性主部.△y=f‘(x)△x+α△x其中α是△x的高阶小量f‘(x)是△x的一
