大学高等数学经典课件5-1

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1、(定积分)第五章定积分第一节定积分的概念和性质第五章定积分定积分问题举例1,曲边梯形面积第一节定积分概念与性质设y=f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,且f(x)≥0.由直线x=a,x=b和x轴,y=f(x)曲线构成的图形称为曲边梯形.yy=f(x)aAcbxByy=f(x)Axxixi+1分割,取点,求和,取极限是求面积的主要方法B它的面积为yy=f(x)二定积分的定义定义设函数f(x)在区间[a,b]上有界,在[a,b]内任意插入(n-1)个分点将[a,b]分成n个小区间为各区间的长度,在每一个小区间上取一点令令如果极限存在y=f(x)xabxixi-1ΔAi其中f(x)

2、称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.[a,b]为积分区间,b为积分上限,a为积分下限为黎曼积分和y注意:(1)函数在区间上可积,要求区间有限.函数在这区间内是有界的.(2)定义中对小区间的划分和选点是任意的虽然在划分和选点是任意的,但其和式只有唯一的极限.这样,对于函数如果可积,则可用特殊的点和特殊的划分使问题简单.(3)定积分和积分变量的字母的选取无关.例如(4)定积分只与被积函数和积分区间有关.与区间的划分和选点无关.由积分定义,可知以[a,b]上连续曲线y=f(x)≥0为曲边的曲边梯形的面积如果(2)中的极限存在,我们称为函数f(x)在区间[a,b]内

3、可积.下面我们不加证明给出几个定理和推理。定理1若函数f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界定理2若函数f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积定理3若函数f(x)在[a,b]上有界,且又有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积.推论1在区间[a,b]上分段连续的函数f(x)在[a,b]可积.推论2若函数f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上的定积分等于它在(a,b),(a,b],或[a,b)上的定积分.对于这几种区间上的定积分,我们通常用闭区间[a,b]作为代表来进行研究,并把它们统一作为(2)当b

4、当b=a时,例1计算定积分分析:它是曲边三角形,函数y=x2在[0,b]上连续,可积..现在我们利用特殊的划分---等分[0,b],则在每一个小区间的面积和为y=x2y-bbx三定积分的性质假定下列各性质中的定积分存在.性质1函数和(差)的定积分等于它们各自定积分的和(差).假定下列各性质中的定积分存在.性质1函数和(差)的定积分等于它们各自定积分的和(差).推论(线性)线性组合的定积分等于定积分的线性组合,即存在ki(i=1,2...n)为常数,则这个性质的好处是把一个较复杂的积分变成几个简单的积分.性质3（可加性）这性质表示定积分在区间[a,b]上可积,则在[a,c],[c,

5、b]上也可积.这C点可在[a,b]的区间内,也可在区间外.性质4如果在[a,b]上f(x)=1,则其几何意义是高为1的矩形面积等于底边(b-a)乘高.xy性质5(保号性)如果在区间[a,b]上,f(x)>0,则这性质表示以f(x)>0,为边的曲边梯形的面积非负.推论(不等式)如果在[a,b]上,f(x)>g(x),则性质6(绝对值不等式)性质7(估计不等式)设M与m分别是f(x)在区间[a,b]是的最大值与最小值,则这个性质用来计算不等式.具体做法是利用被积函数的性质;如极值,单调性等得到在这区间中的最大值M和最小值m.性质8(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上

6、连续,则至少存在一点ξ∈[a,b],使得几何意义是曲边梯形的面积等于以(b-a)为底边,f(ξ)为高的矩形面积aby=f(x)f(ξ)xy例2估计积分的值之范围先求极值:积分中值定理可推广为:若函数f(x)与g(x)在[a,b]上连续,且g(x)不变号,则存在ξ∈[a,b],使有利用性质7不等式的证明除了利用性质7外,还可利用定积分的几何意义例3设f(x)在[a,b]上二次可微,且f’(x)>0.f“(x)>0,试证oxyABCDEf(x)证明:因为f’(x)>0,f”(x)>0.所以f(x)在[a,b]上递增,且是凹的.显然f(x)的定积分是存在的.它等于曲边梯形ABCD的面积

7、,从图上看,它小于梯形ABCD的面积,大于矩形ABED的面积所以不等式成立注意:这种面积证法,显得非常简洁,对于面积有关的问题可应用这种证明方法.