线性代数向量chapter

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1、回顾一般线性方程组的求解齐次线性方程组的求解线性方程组无穷多解时，解与解之间是什么关系?引入n维向量,研究向量间的线性关系§2.2n维向量定义数域F上的n个数a1,a2,…,an组成的一个有序数组称为一个n维向量。第i个数ai称为该向量的第i个分量;分量的个数n称该向量的维数。向量的表示符号：一般用小写希腊字母,,…表示．向量的表示形式：可分为行向量、列向量两种。矩阵的每一行看作一个行向量,每一列看作一个列向量向量的约定(2)所有分量都是零的向量称为零向量．定义2.6(向量的加法):形式一致的向量的对应分量相加。定义2.6(向量与数量的乘法)：向量的各分量与数相乘

2、。向量的线性运算（１）（加法交换律）；（２）（加法结合律）；（３）（４）（５）（数乘分配律）；（６）（数乘分配律）；（７）（数乘结合律）；（８）其中　　　是　维向量，　是　维零向量，　和　为数域　中的任意数．向量的运算律例.解：线性方程组的向量表示形式简记其中线性方程组向量间的线性关系向量间的几个重要的线性关系:线性组合线性表示线性相关线性无关这些概念及其相关性质是线性代数中基本的、重要的内容。线性组合与线性表示定义：对于向量组1,2,…,s和向量，如果存在s个数k1,k2,…,ks,使得则称向量是向量组1,2,…,s的线性组合。或称向量可由向量组

3、1,2,…,s线性表示。例:n维零向量(0,0,…,0)是任一n维向量组1,2,…,s的线性组合。解：取k1=k2=…=ks=0,则线性方程组线性组合与线性方程组是否有解的关系基本单位向量组注：能否线性表示本质在于求解线性方程组是否有解。线性相关与线性无关定义：对向量组1,2,…,s,,(1)向量组1,2,…,s线性相关存在不全为零的数k1,k2,…,ks，使得k11+k22+…+kss=o(2)向量组1,2,…,s线性无关当且仅当k1=…=ks=0时,k11+k22+…+kss=o才成立。从线性方程组角度看线性相关/无关本质：

4、齐次方程组x11+x22+…+xss=o有非零解,表示向量组线性相关，仅有零解表示向量组线性无关。例：含有零向量的任一向量组都线性相关．证明：设此向量组为o,1,2,…,s,则对k0，有故该向量组线性相关。例.问:两个非零的　维向量线性无关的条件?当且仅当　　　所以单个的非零向量线性无关．例.试证：　维基本单位向量组线性无关.证明:设有数使得单个非零的　维向量线性无关．向量的分量不对应成比例.由此可知，当且仅当　　　　　　　　　时，才有所以向量组　　　　　线性无关．例如果向量　　　　线性无关，则向量组也线性无关．证明：设有数　　　　使得即因为　　　　线

5、性无关，所以必有这是以　　　　为未知量的齐次线性方程组．所以该齐次线性方程组仅有零解：从而向量组　　　　　　　　　　线性无关．练习：判断以下向量组是否线性相关．解:对该方程组的增广矩阵进行初等行变换:由最后的阶梯形矩阵可知该齐次线性方程组有非零解.从而向量组线性相关.问：能否找到一组非零解?练习相关定理定理3:设r维向量组(r

6、相关。推论:若向量组线性无关,则其任一部分组也线性无关。(用反证法易知，证略)定理2.3设　维向量组（　　）线性无关，则在每个向量上再添加　　个分量所得到的维向量组也线性无关．证明:设有数　　　　　使得由此可得以为未知量的齐次线性方程组:因为线性无关,所以上面方程组中前个方程组成的方程组仅有零解因此上面的方程组也仅有零解,所以向量组也线性无关.定理2.4个　维向量线性相关的充要条件是行列式证明:设有数　　　　使得以为未知量的齐次线性方程组:因为向量组　　　　　线性相关的充要条件是齐次线性方程组仅有非零解方程条数和未知量个数相等定理2.4的应用1（课本习题10（3））判

7、断下列向量组线性相关，还是线性无关．定理2.4的应用2（课本习题11）已知向量组a为何值时，向量组线性相关？线性无关？同步练习如果向量组线性无关证明:必要性.如果向量组线性相关,则存在不全为零的数使得不妨设则由上式可得即向量可以由其余个向量线性表示.定理7：向量组1,2,…,s(s2)线性相关其中至少有一个向量可由其余s-1个向量的线性表示。线性相（无）关与线性表示的关系充分性.不妨设是其余个向量的线性组合,即存在使得移项得其中向量的系数为根据定义,向量组线性相关.推论：向量组1,2,…,s(s2)线性无关的充要条件是向量组中每一个向