线性代数2chapter3n维向量组及其线性相关性

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1、Chapter3(1)n维向量组及其线性相关性教学要求：1.理解n维向量的概念;2.理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用有关向量组线性相关、线性无关的重要结论;3.了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组和向量组的秩;4.了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵秩的关系.1.n维向量及其表示法维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用　　　　　　等表示，如：维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用　　　　等表示，如：注意:(1)行向量和列向量总被看作是两个

2、不同的向量;(2)行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算;(3)当没有明确说明是行向量还是列向量时,都当作列向量.若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如2.矩阵用行(列)向量组表示向量组,,…，　称为矩阵A的行向量组．反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.1.线性组合考察方程组看成向量有定义1:线性表示,且表示方式唯一.Solution.结论1.任一向量可由同维的基本单位向量组线性表示,其表出系数依次为该向量的各个分量.结论2.零向量可由任一向量组线性表示.结论3.向

3、量组中任一向量可由该向量组线性表示.结论4.若可由向量组的部分向量线性表示,则可由向量组线性表示.2.线性相关与线性无关定义2:则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．注意：定理1.证：结论1.一个向量线性相关.结论2.两个向量线性相关对应分量成比例.结论3.含有零向量的向量组线性相关.ex2.证明n个n维基本单位向量是线性无关的.Proof.Proof.另解所以结论成立.定义3.向量组A与B等价具有反身性，对称性和传递性.定理2.证明从略.结论1.结论2.等价的线性无关向量组含有相同个数的向

4、量.结论3.nk个n维向量必线性相关.考察向量组定义4.结论1.最大线性无关组不唯一.结论2.向量组与任一个最大线性无关组等价.结论3.向量组的任两个最大线性无关组等价.结论4.一个向量组中,任意两个最大无关组所含向量的个数相同.定义5.向量组T中最大线性无关组所含向量的个数叫做向量组T的秩.记为rank(T).如果向量组T只含零向量,规定rank(T).注意：(1)rank(T)是唯一的.(2)等价的向量组有相同的秩.定理3.证明从略.求向量组的秩与最大无关组的方法:将向量组的每一个向量写成列向量得一矩阵

5、,用初等行变换求出其阶梯形矩阵,矩阵的秩即为向量组的秩.由观察法可得出阶梯形矩阵中的最大无关组,则在原矩阵中相应的列构成原向量组的最大无关组.Solution.Proof.Proof.事实上，定理2.证：定理3.证：结论1.一个向量线性相关.结论2.两个向量线性相关对应分量成比例.结论3.含有零向量的向量组线性相关.定理5.证明从略.结论.定理6.Proof.即为最大无关组,3.如何求向量组的秩与最大无关组?定义6.矩阵A的行向量组的秩,称为A的行秩;矩阵A的列向量组的秩,称为A的列秩.结论.A的行秩

6、A的列秩A的秩.定理7.Proof.以上各步可逆,且相关与无关为逆否命题.故结论成立.