系统运动的稳定性

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1、5.1内部稳定性与外部稳定性5.2李雅普诺夫稳定性的定义5.3李雅普诺夫第二法的主要定理5.4构造李雅普诺夫函数的规则化方法5.5线性系统的稳定性分析5.6Matlab问题本章小结第五章系统运动的稳定性本章简介本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。主要介绍内部稳定性和李雅普诺夫稳定性的定义以及分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法;着重讨论李雅普诺夫第二法及其在非线性系统的应用、李雅普诺夫函数的构造。李雅普诺夫俄国数学家李雅普诺夫1892年博士论文《运动稳定性的一般问题》中创立的稳定性理论被引入到控制中。其人：185

2、7年6月6日生于俄国；1876年，李雅普诺夫考入圣彼得堡大学数学系；1880年大学毕业后留校；1892年获博士学位并成为教授；1901年被选为科学院院士；主要贡献：创立了特征函数法；常微分方程运动稳定性理论5.1内部稳定性与外部稳定性（P213）一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一个稳定的系统。例如，电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。具有稳定性的系统称为稳定系统。稳定性的定义为：当系统受到外界干扰后，显然它的平衡被破坏，但在外扰去掉以后，它仍有能力自动地在平衡

3、态下继续工作。如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统实际上，控制系统的稳定性，通常有两种定义方式：外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。（书P213定义5.1）定义：称一个系统的外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入u(t)，即满足条件：的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即有经典控制理论讨论的有界输入有界输出稳定(BIBO)即为外部稳定性。在经典控制理论中，许多稳定性判据如劳斯-赫尔维茨判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便

4、的判别系统稳定性的方法。内部稳定性：是关于动力学系统的内部状态变化所呈现稳定性，即系统的内部状态稳定性。（书P216定义5.2）设n维连续时间线性时变自治系统定义：称连续时间线性时变系统在时刻t0为内部稳定，是指由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应xou(t)对t∈[t0,+∞)有界，并满足渐近属性，即：线性系统的输入输出稳定性取决于其特征方程的根，与初始条件和扰动都无关，而非线性系统则不然。结论5.4：设n维连续时间线性时变自治系统本节讨论的李雅普诺夫意义下的稳定性即为内部稳定性。系统在t0时刻内部稳定

5、的充分必要条件为：状态转移矩阵Ф(t,t0)对所有t∈[t0,+∞]为有界，并满足：结论5.5：对n维连续时间线性时不变自治系统内部稳定的充分必要条件为或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Re{λi(A)}<0。外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。内部和外部稳定性的关系在经典控制理论中所定义的稳定性是指输入输出稳定性，即给定有界输入，产生的输出亦有界。而李雅普诺夫稳定性讨论的系统状态在平衡态邻域的稳定性问题。就一般系统而言，两种稳定性没有必然的联系，对于同一个线性系

6、统，只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。（P217结论5.7-5.9）对于线性定常系统平衡状态xe=0的渐近稳定性由A的特征值决定，而BIBO的稳定性是由传递函数的极点决定的。那么在什么条件下，BIBO稳定才是内部稳定呢？结论：对连续时间线性时不变系统，内部稳定→BIBO稳定，反之不成立。若系统能控且能观测，则内部稳定←→BIBO稳定。若该线性定常系统是渐近稳定的，则一定是输入输出稳定的，反之，则不尽然。G(s)的所有极点都是A的特征值，但A的特征值并不一定都是G(s)的极点，可能存在零极点对消。所以，

7、xe=0处的渐近稳定就包含了BIBO稳定，而BIBO稳定却可能不是xe=0处的渐近稳定。稳定性判别方法经典控制理论中：线性定常系统的稳定性：代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）；奈奎斯特判据；对数稳定判据等。非线性定常系统的稳定性：描述函数法：要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；相平面法：仅适合于一阶、二阶非线性系统。现代控制理论中：一般系统（包括单变量、线性、定常系统，以及多变量、非线性、时变系统）的稳定性：李雅普诺夫稳定性理论。5.2李雅普诺夫稳定性的定义（P218)早在1892年，俄国学者李雅普诺夫

8、（1857–1918)发表题为“运动稳定性一般问题”的著名文献，建立了关于运动稳定性研究的一般理论。李雅普诺夫把分析一阶常微分方程组稳定性的所有方法归纳为两类。第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化，然后通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来讨论原非线性系统的稳定性问题。这是一种较简捷的方法，与经典控制理论中判别稳定性方法的思路是一致的。该方法称为间接法，亦称为李雅普诺