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时间:2019-09-12
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1、椭圆知识点总结及经典习题练习 第二部分圆锥曲线---椭圆 知识点一:1、平面内与两个定点F)的点的1,F2的距离之和等于常数对称性:对于椭圆标准方程221(ab0):说明: ab把x换成x、或把y换成y、或把x、y同时换成x、y、 x2y2原方程都不变,所以椭圆221是以x轴、y轴为对称轴 ab的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。范围: 椭圆上所有的点都位于直线xa和yb所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足xa,yb。 顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 x2y2②椭圆221(ab0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶
2、点,坐标分别为 abA1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b) ③线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,A1A22a,B1B22b。a和 b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 离心率: ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作e2cc。2aa②因为(ac0),所以e的取值范围是(0e1)。e越接近1,则c就越接近a,从而因此椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近0,从而b越接近于a,ba2c2越小。 这时椭圆就越接近于圆。当且仅当ab时,c0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为xya。注意: 22x2y2椭圆221的图像中线
3、段的几何特征: ab (PF1(BF1A1F1PF22a); PF1PM1PF2PM2e;(PM1PM22a2); cBF2a);(OF1OF2c);A1BA2Ba2b2; A2F2ac;A1F2A2F1ac;acPF1ac; 规律方法: 1.如何确定椭圆的标准方程? 任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件a,b;一个定位条件焦点坐标,焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2.椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义 椭
4、圆标准方程中,a,b,c三个量的大小与坐标系无关,是椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为: (ab0),(ac0),且(a2b2c2)。 可借助右图理解记忆: 显然:a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、c为两条直角边。 3.如何椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看x,y2的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。 224.方程AxByC(A,B,C均不为零)是表示椭圆的条件 x2By2Ax2By2221,1,即方程AxByC可化为
5、 CCCCABCC所以只有A、B、C同号,且AB时,方程表示椭圆。当时,椭圆的焦点在x轴上; ABCC当时,椭圆的焦点在y轴上。AB5.求椭圆标准方程的常用方法: 2①待定系数法:已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再条件确定方程中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型,再定量”; ②定义法:已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。 6.共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 x2y2共焦点,则c相同。与椭圆221(ab0)共焦点的椭圆方程可设为 abx2y221(mb),此类问题常用待定系数法求解。22ambm7.如何求解与焦点三角形
6、△PF1F2有关的计算问题 思路分析:与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及 1余弦定理、三角形面积公式SPF1F2PF1PF2sinF1PF2相 2 结合的方法进行计算解题。将有关线段PFPF2、F1F2,有关角F1PF2(F1PF2F1BF2)结合起来,建1、立PF1PF2、PF1PF2之间的关系.9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系? 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率ec(0e1),因为abc2a2b2,ac0,用a、b表示为e12(0e1)。 abb显然:当越小时,e(0e1)越大,椭圆形状越扁;当越大,e(0e1)越 aa小,
7、椭圆形状越趋近于圆。椭圆练习题 一、选择题 1、与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且短轴长为45的椭圆方程是 ( ) x2y21(A) 2520x2y2(B)12025x2y2(C)12045x2y2(D)1 80852、椭圆的两个焦点和短轴两个顶点,是一个含60°角的菱形的四个顶点,则椭圆的离心率为 ( )(A) 11333 (B) (C) (D)或22232x2y
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