离散数学第11章格与布尔代数

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1、第十一章格与布尔代数主要内容格的定义及性质子格分配格、有补格布尔代数111.1格的定义与性质定义11.1设是偏序集，如果x,yS，{x,y}都有最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个格.（偏序关系P126）求{x,y}最小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和∧，例1设n是正整数，Sn是n的正因子的集合.D为整除关系，则偏序集构成格.x,y∈Sn，x∨y是lcm(x,y)，即x与y的最小公倍数.x∧y是gcd(x,y)，即x与y的最大公约数.2图2例2判断下列偏序集是否构成格，

2、并说明理由.(1)，其中P(B)是集合B的幂集.(2)，其中Z是整数集，≤为小于或等于关系.(3)偏序集的哈斯图分别在下图给出.实例(1)幂集格.x,y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y.(2)是格.x,y∈Z，x∨y=max(x,y)，x∧y=min(x,y)，(3)都不是格.可以找到两个结点缺少最大下界或最小上界3格的性质：算律定理11.1设是格,则运算∨和∧适合交换律、结合律、幂等律和吸收律,即(1)a,b∈L有a∨b=b∨a,a∧b=b∧a(2

3、)a,b,c∈L有(a∨b)∨c=a∨(b∨c),(a∧b)∧c=a∧(b∧c)(3)a∈L有a∨a=a,a∧a=a(4)a,b∈L有a∨(a∧b)=a,a∧(a∨b)=a4格的性质：序与运算的关系定理11.3设L是格,则a,b∈L有a≼ba∧b=aa∨b=b可以用集合的例子来验证幂集格，其中P(B)是集合B的幂集.幂集格.x,y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y.5格的性质：保序定理11.4设L是格,a,b,c,d∈L，若a≼b且

4、c≼d,则a∧c≼b∧d,a∨c≼b∨d例4设L是格,证明a,b,c∈L有a∨(b∧c)≼(a∨b)∧(a∨c).证a∧c≼a≼b,a∧c≼c≼d因此a∧c≼b∧d.同理可证a∨c≼b∨d证由a≼a,b∧c≼b得a∨(b∧c)≼a∨b由a≼a,b∧c≼c得a∨(b∧c)≼a∨c从而得到a∨(b∧c)≼(a∨b)∧(a∨c)（注意最大下界）注意：一般说来,格中的∨和∧运算不满足分配律.6格作为代数系统的定义定理11.4设是具有两个二元运算的代数系统,若对于∗和◦运算适合交换律、结合律、吸收律,则

5、可以适当定义S中的偏序≼,使得构成格,且a,b∈S有a∧b=a∗b,a∨b=a◦b.证明省略.根据定理11.4,可以给出格的另一个等价定义.定义11.3设是代数系统,∗和◦是二元运算,如果∗和◦满足交换律、结合律和吸收律,则构成格.711.2分配格、有补格与布尔代数定义11.5设是格,若a,b,c∈L,有a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)则称L为分配格.注意：可以证明以上两个条件互为充分必要条件L1和L2

6、是分配格,L3和L4不是分配格.称L3为钻石格,L4为五角格.实例8有界格的定义定义11.6设L是格,(1)若存在a∈L使得x∈L有a≼x,则称a为L的全下界(2)若存在b∈L使得x∈L有x≼b,则称b为L的全上界说明：格L若存在全下界或全上界,一定是惟一的.一般将格L的全下界记为0,全上界记为1.定义11.7设L是格,若L存在全下界和全上界,则称L为有界格,一般将有界格L记为.9定理11.6设是有界格,则a∈L有a∧0=0,a∨0=a,a∧1=a,a∨

7、1=1注意：有限格L={a1,a2,…,an}是有界格,a1∧a2∧…∧an是L的全下界,a1∨a2∨…∨an是L的全上界.0是关于∧运算的零元,∨运算的单位元；1是关于∨运算的零元,∧运算的单位元.有界格的性质10有界格中的补元及实例定义11.8设是有界格,a∈L,若存在b∈L使得a∧b=0和a∨b=1成立,则称b是a的补元.注意：若b是a的补元,那么a也是b的补元.a和b互为补元.例7考虑下图中的格.针对不同的元素，求出所有的补元.11解答(1)L1中a与c互为补元,其中a为全

8、下界,c为全上界,b没有补元.(2)L2中a与d互为补元,其中a为全下界,d为全上界,b与c也互为补元.(3)L3中a与e互为补元,其中a为全下界,e为全上界,b的补元是c和d;c的补元是b和d;d的补元是b和c;b,c,d每个元素都有两个补元.(4)L4中a与e互为补元,其中a为全下界,e为全上界,b的补元是c和d;c的补元是b;d的补元是b.12有界分配格的补元惟一性定理11.7设