2016年全国物理竞赛复赛试题解答

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1、第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2016年9月17日一、（20分）如图，上、下两个平凸透光柱面的半径分别为R、R，且两柱面外切；其剖面（平12面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各自过切点的母线相互垂直。取两柱面切点O为直角坐标系O-XYZ的原点，下侧柱面过切点O的母线为X轴，上侧柱面过切点O的母线为Y轴。一束在真空中波长为的可见光沿Z轴负方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着Z轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在X-Y平面的投影。R和R远大于傍轴光线12干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。

2、空气折射率为n1.00。试推导第k级亮纹在X-Y平面的0投影的曲线方程。已知：a.在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。任何情形下，折射波不存在半波损失。伴随半波损失将产生大小为π的相位突变。b.sinxxx,1当。参考解答：如图a所示，光线1在上侧柱面P点处傍轴垂直入射，入射角为，折射角为，由折射定律有0nnsinsin①00其中n和n分别玻璃与空气的折射率。0光线在下侧柱面Q点处反射，入射角与反射角分别为i和i，由反射定律有ii

3、②光线在下侧柱面Q点的反射线交上侧柱面于P点，并由P点向上侧柱面折射，折射光线用1表示；光线1正好与P点处的入射光线2的反射光线2相遇，发生干涉。考虑光波反射时的半波损失，光线1与光线2在P点处光程差L为Lnzn()(PQPQ)p0nzn()(PQPQ)(p0nzzpp)③221式中为入射光线在真空中的波长，n1.00。由题意，R和R远大于傍轴光线干涉区域所对应012的两柱面间最大间隙；因而在傍轴垂直入射情况下有0，ii1①式成为nn④00亦即10n⑤

4、0在傍轴条件下，柱面上P、Q两处切平面的法线近似平行，因此10ii⑥0从而，在P、Q两处，不仅切平面的法线近似平行，而且在上下表面的反射光线、折射光线均近似平行于入射线，因而也近似平行于Z轴，从而P与P点近似重合，即zzpp⑦且PQ近似平行于Z轴，因而长度PQPQzz⑧PQ由③⑧式得Ln2P00Q2nzzPQ⑨22可以将⑨式右端的z-坐标近似用x-或y-坐标表出。为此，引入一个近似公式。如图b所示，设置于平面上的柱面透镜与平面之间的空气隙的厚度为e，柱面半径为R。对三边边长分别为R、Re和r的直角三角形有22

5、2RRer=⑩即222Reer⑪在光线傍轴垂直入射时，eR，可略去⑪式2左端的e，故2re⑫2R在光线傍轴垂直入射时，前面已证近似有PQ//Z轴。故可将上、下两个柱面上的P、Q两点的坐标取为P(,,)xyz、Q(,,)xyz，如图cPQ所示。根据⑫式可知，P、Q两点到XOY切平面的距离分别为222xyez，ez⑬1P2Q2R2R12最后，光线在上、下两个柱面反射并相遇时,其光程差L为Lnzz220PQnee012222222xyxy2nn⑭00222RRRR2121

6、2若P、Q两点在XOY平面的投影点(,)xy落在第k级亮(暗)纹上，则L须满足条件22kk,1,2,,亮环xyLn01⑮RR122()kk,0,1,2,,暗环2⑮式中亮环条件对应于第k级亮纹上的点(,,)xyz的x-、y-坐标满足的方程。更具体地，不妨假设RR，根据⑮式中的亮环条件，可得第k级亮纹的方程为1222xy1,k1,2⑯22ABkk它们是椭圆亮环纹，其半长轴与半短轴分别为11AkRn()/,k1,2,，BkRn()/,k1,2,⑰k10k2022评分参考：①②式各1分，③

7、式2分，④⑤式各1分，⑥式2分，⑦式1分，⑧式2分，⑨⑩⑪⑫式各1分，⑬式2分，⑭式1分，⑮式（亮环条件正确）2分。二、（20分）某秋天清晨，气温为4.0C，一加水员到实验园区给一内径为2.00m、高为2.00m的圆柱形不锈钢蒸馏水罐加水。罐体导热良好。罐外有一内径为4.00cm的透明圆柱形观察柱，底部与罐相连（连接处很短），顶部与大气相通，如图所示。加完水后，加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜（不溶于水，与罐壁无摩擦），并密闭了罐顶的加水口。此时加水员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为1.00m。（1）从清晨到中午，气温缓慢升至24.0C，问此时观察柱内水

8、位为多少？假设中间无人用水，水的蒸发及