2017（34届）全国物理竞赛复赛试题及解答

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1、第 34 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2017 年 9 月 16 日一、（40 分）一个半径为 r 、质量为 m 的均质实心小圆柱被置于一个半径为 R 、质量为 M 的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为 g 。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率：（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。R解：（1）如图，q 为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方

2、向的夹角。小圆柱受三个力作用：重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱的静摩擦力大小为 F ，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得F - mg sinq = ma①式中， a 是小圆柱质心运动的加速度。由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度 q1 （规定小圆柱在最低点d 2q   1d 2q时 q1 = 0 ）与 q 之间的关系为Rq = r(q1 + q )②由②式得， a 与 q 的关系为a = r= (R - r)③dt2dt2Rqq1I 

3、=mr2考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得d 2q-rF = I21dt式中， I 是小圆柱绕其自身轴的转动惯量12由①②③④⑤式及小角近似sinq » q得d 2q2g+q = 0dt23(R - r)④⑤⑥⑦由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为f =1 gπ 6(R - r)⑧（2）用 F 表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，q1 和q2 分别为小圆柱与圆筒转过的角度（规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置 q1 = q2 = 0 ）。对于小圆柱，

4、由转动定理得æ 1ö dq2-Fr = ç mr2 ÷21è 2ø dt对于圆筒，同理有d 2qFR = (MR2 )22dt⑨⑩1由⑨⑩式得æ 21 ödqdq22-F ç+÷ = r21 - R22è mM ødtdt⑪设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角 q ，由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有Rq = r(q1 + q ) - Rq2⑫(R - r)2  = r21 - R22由⑫式得d 2qd 2qd 2q⑬dtdtdt设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为 a ，由质心运动定理得F 

5、- mg sinq = ma⑭由⑫式得d 2qa = (R - r)2dt由⑪⑬⑭⑮式及小角近似 sinq » q ，得d 2q2M + mg+q = 0dt23M + m R - r⑮⑯由⑯式可知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为f =1 2M + m g2π 3M + m R - r⑰评分参考：第（1）问 20 分，①②式各 3 分，③式 2 分，④式 3 分，⑤⑥式各 2 分，⑦式 3分，⑧式 2 分；第（2）问 20 分，⑨⑩⑪式各 2 分，⑫式 3 分，⑬⑭⑮式各 2 分，⑯式 3分

6、，⑰式 2 分。二、（40 分）星体 P（行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线kr =P1 + e cosq式中， r 是 P 到太阳 S 的距离， q 是矢径 SP 相对于极rC轴 SA 的夹角（以逆时针方向为正），k =2 ,   L 是BP 相对于太阳的角动量，G = 6.67 ´10m  × kg× s为L2GMm-113-1-2qSARE引 力 常 量 ， M » 1.99 ´1030kg 为 太 阳 的 质 量 ，De = 1 +2EL2G2M 2m3为偏心率， m 和 E 分别为 P 的质量和机械

7、能。假设有一颗彗星绕太阳运已知积分公式 ò=   ( x + a )- 2a (x + a )+ C ，式中 C 是任意常数。动的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，两轨道相交于 C、D 两点，如图所示。已知地球轨道半径 RE » 1.49 ´1011m ，彗星轨道近日点 A 到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。求彗星（1）先后两次穿过地球轨道所用的时间；（2）经过 C、D 两点时速度的大小。xdx23/21/2x + a32解：（1）由题设，彗星的运动轨道为抛物线，故e = 1,

8、 E = 0彗星绕太阳运动的轨道方程为：①r =k1 + cosq②mr& ++V (r ) = E = 0彗星绕太阳运动过程中，机械能守恒12L222mr2③V (r ) = -G式中Mm④r当彗星运动到近日点 A 时，其径向速度为零，设其到太阳的距离为 rmin ，由③式得2(