离散系统的性质与离散信号的变换

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1、第二章离散系统的性质与离散信号的变换本章内容提示模拟信号与离散信号之间的转换关系学习离散时间系统的基本知识离散信号的两种主要变换：傅立叶变换和Z变换，及它们的关系Matlab方法§2.1抽样与内插图2.1模拟信号与数字信号之间的相互转换2.1.1抽样：模拟信号离散化1采样：将连续信号离散化的过程，这是对信号作数字化处理的第一个环节。2采样的研究内容：信号经采样后发生了哪些变化（如频谱的变化）；信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号、如何不失真地还原信号），遵循什么规律；由离散信号恢复连续信号的条件和方法是什么。方法：将连续信号变为离散信号最常用的是等间隔周期抽样，即每

2、隔固定时间Ts抽取一个信号值。抽样周期：Ts；抽样频率：fs=1/Ts；抽样角频率：Ωs=2πfs=2π/Ts。图2.2模拟信号的抽样抽样定理：设fm是一模拟信号xa(t)的频谱的最高频率，当对xa(t)进行抽样时，只要抽样频率fs等于或大于2fm，就可以由抽样序列xa(nT)来唯一准确地恢复出xa(t)。采样的过程1.数学采样，将xa(t)采样实际就是使xa(t)与取样函数p(t)相乘。------时域分析图2.3抽样过程的数学模型相乘2.频域分析两个信号若在时域是相乘的关系，映射到频域则为卷积的关系，若时域有则频域有或其中抽样函数p(t)是一个周期为Ts的周期函数，故

3、有：求：Ωs=2π/Ts是周期函数p(t)的基波角频率，也是抽样角频率。傅里叶级数的系数：所以由于因此就是说，将Xa(Ω)乘以1/Ts后进行以Ωs为周期的周期延拓就得到简化整理得采样信号频谱可以看出，时域中的连续信号经单位脉冲取样后，在频域中产生周期性函数，其周期等于取样角频率。Ωs只要取样频率足够高，满足，采样信号频谱就不会混叠，只需通过一个合适的滤波器，就可以滤出原模拟信号的所有频率成分，去除其它的频率成分，恢复出原来信号。对一个连续信号进行抽样时，抽样率fs必须不小于信号频谱最高频率fm的2倍。当fs=2fm，fs就叫做奈奎斯特抽样率。取样定理可以用下图说明图2.4

4、抽样信号的频谱与原模拟信号频谱之间的关系实际工作中，考虑到有噪声，为避免频谱混淆，采样频率总是选得比两倍信号最高频率max更大些，如Ωs>(3~5)max。同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入采样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置低通滤波器（抗混叠滤波），阻止高于S/2频率分量进入。实际采样采样器一般由电子开关组成，开关每隔Ｔ秒短暂地闭合一次，使之与连续信号接通，实现一次采样。P(t)如开关每次闭合τ秒，则采样器的输出是一串重复周期为T，宽度为τ的脉冲，(如图)脉冲的幅度是这段时间内信号的幅度(如图)，这一采样过程可看作是一个脉冲调幅过程，脉冲载波是一

5、串周期为T、宽度为τ的矩形脉冲，以P(t)表示,调制信号是输入的连续信号xa(t),则采样输出为一般τ很小,τ越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。理想采样开关闭合时间τ→0时，为理想采样。特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地等于输入信号在采样瞬间的幅度。即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。我们用M(t)表示这个冲激载波，则有例2.1用不同的抽样频率对信号抽样，比较所得抽样信号的频谱。(1)以fs=5000Hz对xa(t)抽样得到x1(n)(2)以fs=1000Hz对xa(t)抽样得到x2

6、(n)对于（1）对于（2）图2.5抽样信号频谱示意图2.1.2内插：抽样信号的恢复1.频域分析如果取样信号的频率不存在混叠，则让通过一个理想的低通滤波器，即让低频通过，若其截止频率满足就可以恢复出原来的连续信号。离散信号的频谱与原信号的频谱差一个常数因子1/T，所以恢复信号滤波器外观及内构将采样信号通过一个理想低通滤波器（只让基带频谱通过），其带宽等于折迭频率S/2，特性如图。采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱：也就恢复了模拟信号：xa(t)实际上，理想低通滤波器是不可能实现的，但在满足一定精度的情况下，总可用一个可实现网络去逼近。Txa(t)y(t)=xa(

7、t)G(j)g(t)G(j)0S/22.时域分析已知其中若取则有其中内插函数内插函数是具有时延nTs的sinc函数，他在t=nTs的取样点上的函数值为1，而xa(t)在t=nTs的各取样点上之值正好等于xa(nTs),而采样之间的信号则由各采样值内插函数的波形延伸迭加而成。通过内插恢复原来的模拟信号内插函数的形式取决于所用的低通滤波器的冲激响应，理想滤波器低通特性为一矩形，冲击响应因而内插函数也是sinc函数，此时能完全恢复原来的连续信号。事实上不存在理想滤波器，往往通过下式来逼近§2.2离散时间信号序列2.2.1离散