数学人教版六年级下册鸽巢问题故事二桃杀三士

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1、二桃杀三士　　《晏子春秋》里记载了这样一个故事：　　齐景公蓄养着三名勇士，他们名叫田开疆、公孙接和古冶子。　　这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过不少功劳。但他们也刚愎自用，目中无人，连齐国的宰相晏婴都不放在眼里，终于得罪了晏婴。晏子便劝齐景公杀掉他们。齐景公对晏子言听计从，但却心存疑虑，恐怕用武力制服不了三人，如果他们联合起来反抗，问题就麻烦了。晏子便献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功，按功劳的大小吃桃。　　三名勇士都认为自己的功劳很大，应该单独吃一个桃子。于是

2、，公孙接讲了自己的打虎功，拿了一只桃；田开疆讲了自己的杀敌功，拿起了另一只桃。两人正准备要吃桃子，古冶子说出了自己更大的功劳。公孙接、田开疆都觉得自己的功劳确实不如古冶子大，感到羞愧难当，赶忙让出桃子，说：“咱本领不如人家，却抢着要吃桃子，实在丢人，是好汉就没有脸再活下去！”说罢都拔剑自刎了。古冶子见了，后悔不迭。心想：“如果放弃桃子而隐瞒功劳，则有失勇士的威严；为了满足自己而羞辱同伴，又有损哥们的义气。如今两个伙伴都为此而死了，我独自活着，算什么勇士？”便仰天长叹一声，也拔剑自杀了。　　这就是“二

3、桃杀三士”的故事。　　晏子采用借“桃”杀人的办法，不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权谋。汉朝无名氏在一首乐府诗中，曾不无讽刺地写道：“……一朝被谗言，二桃杀三士。谁能为此谋，相国齐晏子！”　　有趣的是，在这个故事中，晏子除了运用权谋之外，还运用了数学中一个重要的原理——抽屉原理。　　抽屉原理又名鸽笼原理或狄里克雷原理。这个原理形象的说法就是：　　把3件物品放到2个抽屉里,一定有一个抽屉里至少有两件物品；　　把7件物品放到3个抽屉里,一定有一个抽屉里至少有3件物品,等等。　　一般地说

4、，把m×n+1件物品放到m个抽屉里，一定有一个抽屉里至少有n+1件物品。　　这个原理虽然简单，但在数学中却有广泛而深刻的运用。19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet，1805～1859)首先利用它来建立有理数的理论(所以现在抽屉原理又称狄利克雷原理)，以后被逐渐地应用到许多不同的数学分支中，如在数论、集合论、组合论等学科中都有许多重要的应用。　　1947年，匈牙利数学家把这一原理引进到中学生数学竞赛中，当年全匈数学竞赛有一道试题是：　　“证明：在任何6个人中，一定可以找到3个互相认识的人，或

5、者3个互不认识的人。”　　这个问题乍看起来，似乎令人难以想象，感到十分玄妙而无从下手。其实，只要你懂得抽屉原理，这道题的证明是十分简单的。　　为方便计，我们用A、B、C、D、E、F来代表6个人。从中随便找一个，例如A吧，其余的5个人，或者与A认识，或者与A不认识。现在把“与A认识”和“与A不认识”当作两个“抽屉”，把5个人放到这两个抽屉里，根据抽屉原理，有一个抽屉里至少有3个人。不妨假定在“与A认识”这个抽屉里有3个人，例如B、C、D在这一抽屉里。用平面上的4个点来代表A、B、C、D4人，如果两人互

6、相认识，就在代表它们的两点之间联一条线，于是，便得到图1：　　再看B、C、D3人，如果他们3个人两两互不认识，我们就在这6个人中找到了3个互不认识的人，本题的结论已经获证。如果B、C、D3个人中，至少有两人互相认识，例如B与C互相认识，在B、C之间就要连一条线，如图2。这时，在6个人中就有A、B、C3人互相认识，同样证明了问题的结论。按照一样的方法，如果一开始假定在“与A不认识”这个抽屉里有3个人，同样可证明问题的结论成立。　　这道试题由于它的形式优美，解法巧妙，很快引起数学界的兴趣，被许多国家的数

7、学杂志转载，它的一些变形或推广题，不断地被用作新的数学竞赛试题。几十年如一日，半个世纪以来长盛不衰。　　例如，1964年在莫斯科举行的国际中学生数学竞赛中有一道试题是：　　“17个学者中每个学者都与其余学者通信，他们在通信中一共讨论了3个不同的问题，但每两个学者在通信中只讨论同一个问题。证明：至少有3个学者在彼此通信中都讨论同一问题。”　　这个问题就是上述问题的直接推广。　　在17名学者中任取一名，例如A，其余16名学者与他通信分别讨论3个问题中的某一个。根据抽屉原理，对于3个问题x、y、z，在16

8、人中必有6个人与A讨论某一个，例如x。如果这6个人中还有B与C两人也通信讨论x，则A、B、C三人都彼此讨论同一问题x，命题的结论获证。如果这6个人中没有任何两个人是互相讨论x的，则他们只讨论y与z两个问题。把两个讨论问题y的人看作互相认识，讨论问题z的人看作互不认识，就变成了匈牙利的那道试题。也就证明了命题的结论。　　又例如，1963年北京市中学生数学竞赛有一道试题是：　　“边长为1的正方形中任意放入9个点，证明：在以这些点为顶点的各个三角形中，必有一个三角形，它的面