ON THE STOCHASTIC MODEL OF RILL DEVELOPMENT IN SLOPE SYSTEM

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1、地理学評論52—253〜651979斜面におけるリル発達の確率モデルについて柏谷健二京都大学防災研究所•研修員リルの発達過程を定量的に表現するための基礎として，一つのモデルに対する確率微分方程式を導入した.これは，「合流確率は流路数に比例し，分流確率は流路幅/水深に比例する」という仮説かち導かれたものである.実験的に検討した結果，前記の二つの仮説は妥当なものと認められた.さらに上記の方程式の定常解から，最も出現確率の高い流路本数が導かれることが示され，それは実験結果とかなり良好な一致を示した.Iはじめに裸地斜面

2、等に発達するリルは，一定の領域の斜面,いわば斜面系における最適流路の形成過程として考えることができる.それは主として表面流の作用を受け，合流，分流，蛇行等の過程を繰り返しながら発達していくことが知られており，筆者も観察や実験において認められたそのいくっかの特徴にっいて報告した(柏谷ほか，1974;柏谷，1976).斜面系のリル網に比較することのできる自然流域における水系網にっいては，これまでホートンHorton(1945)以来，多くの研究が重ねられており，数学モデルとしてはかなり精密なものも提案されている（この

3、ような研究の多くは，例えば高山(1974)によりまとめられている）.また，裸地斜面の流路にっし、ては，例えば芦田•田中（1975)によってとりあげられ，水理実験を通して確率モデルが提出されている.しかしながら，これまで提出された多くのモデルは主として合流過程に基礎をおV、ており，分流過程に言及したものは多くはないようである.さらに，合流過程，分流過程を同時に考慮したモデルとして，例えば網状流路に対してグラフ理論を応用したもの(Howardetal.}1970)がみられるが，余斗面の問題に関しては少ないように思わ

4、れる.しかし，小規模な斜面におけるリルの形成過程では，合流，分流を繰り返しながらネッ，トワークが形成されていくのが，筆者の観察や実験においても確かめられている.このような観点から，筆者はすでに合流過程，分流過程を同時に考慮した一つの確率モデルを提案している(柏谷•奥田，1977)が，ここではそのモデルの当否および模型実験との対応を中心に議論をすすめたい.本稿で対象とするモデルは，自然の斜面のように降水等による水源が点在するものではなく，上流端に水源が集中し，一定の斜面領域外がら表流水や地.下水および土砂等の質量

5、の流入を考えなV、場合のものであり，実際のリルの発達を説明するためにモデルを拡張する際には，上記のものを考慮しなければならないことは言うまでもない.しかしながら，自然現象を説明するための基礎としては実験的検証の*可能性も考えれば，現象を単純化したモデルがまず必要とされる場合もあり，ここではこの観点からモデルを検討する.また，モデルの設定にあたっては,裸地斜面の観察および予備実験から得られた情報を基礎とした.IIモデルの設定1)基本的な考え方一般に，現象を系統的に説明するためには，一つの仮説系が必要である.ここで

6、は斜面系におけるリルの発達過程をいくつかの段階に分けて模式化し，興味の対象となる部分に対して一つの仮説を提案する.今，リルの発達は表面流による表面侵蝕によるものと考えれば，その発達過程を次のような段階に区別することは可能であろう.i)シート•フロー（無数の小水流条痕の集合）ii)基本水流条痕の形成iii)初期リルの形成(単位流路の形成）iv)定常リルの形成このうちi)からii)へ移行する過程では，いわゆる二次流が関与し，7]C底面に縦筋模様（いわば水流条痕）が形成されていく.またWから记）へ移る際には下刻作用等

7、により，いわば初期リル（単位流路というべきもの）が出現する.出）からん）の過程では，蛇行等による分•合流が顕著となり，やがて形態の時間的変化が比較的少ない定常リルが出現する.以上のような発達過程のうちで，i)からii)の過程はらせん流と関係づけられ，流体力学的問題として取り扱われており（例えばAllen，1969,1971),ii)から邱の過程は流路の発生として水理学的な問題の対象となっている（例えば芦田•沢井，1976).しかしながら，本稿で取り扱うリルの発達およびその定常状態への過程としては诅）から卜）への

8、移行段階が考察の対象となろう.1)リルの安定化過程のモデル化ここではiii)—iv)をモデル化することにより，その発達過程を抽象化して考察をすすめることにする.まずモデルを単純化するためにいくつかの仮定を設け，理想化された斜面を考える(第1図).すなわち，a)単位幅あたりの表面流量，勾配，土質条件が一定で，一様な均質平坦斜面を対象とする.b)初期リルの数は流量に規定され，その流路幅，水