2013年湖南高考理科数学试题及答案(word版)

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1、绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(为虚数单位)在复平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是　　A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法3.在锐角中，角A,B所对的边长分别为.若，

2、则角A等于A．B．C．D．4.若变量满足约束条件，则的最大值是A．B．C．D．5.函数的图像与函数的图像的交点个数为A．3B．2C．1D．06.已知是单位向量，.若向量满足，则的取值范围是A．B．C．D．7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于A．B．C．D．　8.在等腰直角三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）.若光线经过的重心，则等于　A．B．10C．D．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9

3、.在平面直角坐标系中，若直线(t为参数)过椭圆(　为参数)的右顶点，则常数.10.已知,，则的最小值为.11.如图2，在半径为的⊙O中,弦AB,CD相交于点P，，，则圆心O到弦CD的距离为.(二)必做题（12-16题）12.若，则常数T的值为.答案:313.执行如图3所示的程序框图，如果输入，则输出的的值为.14．设是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若，且的最小内角为，则C的离心率为.15．设为数列的前n项和，则（1）_____；（2）___________.　16．设函数（1）记集合不能构成三角形的三条边长，且，则所对应的的零点的取值集合为______________.10（2）若是的三

4、条边长，则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）①②，使不能构成一个三角形的三条边长；③若为钝角三角形，则使．三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知函数，.（I）若是第一象限角，且，求的值；（II）求使成立的x的取值集合。18．（本小题满分12分）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相

5、近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.19．（本小题满分12分）如图5，在直棱柱（I）证明：；（II）求直线所成角的正弦值。1020．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”。如图6所示的路径都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点处。现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心。（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最

6、小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小。.21．（本小题满分13分）过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为。（I）若，证明:；（II）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程。22．（本小题满分13分）已知，函数.（I）记求的表达式；（II）是否存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理

7、由.2013湖南省高考理科数学参考答案10一、选择题BDDCBACD二、填空题9、310、1211、12、313、914、15、;(2)16、(1)（2）①②③三、17、解：　（I）由得　.又是第一象限角，所以，从而　（II）　等价于，即　.　于是.从而，即　　　．　故使成立的x的取值集合为．18、解：（I）所种作物的总株数N=1+2+3+4+5=15.其中三角形内部的株数为3,　边界上的作物株数为12．从三角形内部和边