2013广东高考数学文科试题及解析

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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费玲珑3D画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则A．B．C．D．2．函数的定义域是A．B．C．D．3．若，，则复数的模是A．2B．3C．4D．54．已知，那么A．B．C．D．5．执行如图1所示的程序框图，若输入的值为3，则输出的值是A．1B．2C．4D．76．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是A．B．C．D．7．垂直于直线且与圆相切于第一象限的直

2、线方程是A．B．C．D．8．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则9．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于，则C的方程是A．B．C．D．10．设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数和，使；③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．（一）必做题（1

3、1～13题）11．设数列是首项为，公比为的等比数列，则12．若曲线在点处的切线平行于轴，则．13．已知变量满足约束条件，则的最大值是．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程为．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线的参数方程为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形中，，，垂足为，则．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数．(1)求的值；(2)若，求．17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：

4、克）的频数分布表如下：分组（重量）频数（个）5102015(1)根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？(3)在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率．18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图5所示的三棱锥，其中．(1)证明：//平面；(2)证明：平面；(3)当时，求三棱锥的体积．19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．(1)证明：；(2)求数列的通项公式；(3)证明：对

5、一切正整数，有．20．（本小题满分14分）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．(1)求抛物线的方程；(2)当点为直线上的定点时，求直线的方程；(3)当点在直线上移动时，求的最小值．21．（本小题满分14分）设函数．(1)当时,求函数的单调区间；(2)当时,求函数在上的最小值和最大值,参考答案一、选择题1．A由题意知，，故；2．C由题意知，解得且，所以定义域为；3．D因为，所以，根据两个复数相等的条件得：即，，所以，的模；4．C；5．C；时，；时，；时，；6．B由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为的等腰直角三角形，

6、高为，所以该三棱锥的体积；7．A设所求直线为，因为垂直直线，故的斜率为，设直线的方程为，化为一般式为；因为与圆相切相切，所以圆心到直线的距离，所以，又因为相切与第一象限，所以，故，所以的方程为；8．B若与相交，且平行于交线，则也符合A，显然A错；若，则，故C错；，若平行交线，则，故D错；9．D由焦点可知可知椭圆焦点在轴上，由题意知，所以，故椭圆标准方程为10．B①②容易判断是对的，③给定单位向量和正数，可知的方向确定，的模确定，如图，若，则等式不能成立；④给定正数和，则和的模确定，若，则等式不成立。11．；由题意知，，，，所以；；12．；因为，所以，因为曲线在点处的切线平行于

7、轴，所以，所以；13．；作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为，代入可知的最大值为；14．（为参数）；因为曲线的极坐标方程为；所以①，②；①可变形得：③，②可变形得：；由得：；故的参数方程为15．；因为在矩形中，，，，所以，所以；在中，因为，由余弦定理得：，所以；16．(1)（2），，．17．（1）重量在的频率；（2）若采用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，则重量在的个数；（3）设在中抽取的一个苹果为，在中抽取的三个苹果分别为，从抽出的个苹果中，任取个共有种情况，其中符合“重量在和中各有一个”