2013年广东高考文科数学试题及答案解析(图片版

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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678910答案ACDCCBABDB二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11~13题）11.1512.13.5（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.（为参数）15.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）已知函数，．（

2、1）求的值；（2）若，，求．16.解：（1）（2）因为，，，所以．17.（本小题满分12分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）频数（个）5102015（1）根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率．17.解：（1）苹果的重量在的频率为；（2）重量在的有个；（3）设这4个苹果中分段的为1，分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2），（1

3、，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种设“任取2个，重量在和中各有1个”为事件，则事件包含有（1，2），（1，3），（1，4）共3种，所以.18.（本小题满分14分）如图4，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图5所示的三棱锥，其中．（1）证明：∥平面；（2）证明：平面；（3）当时，求三棱锥的体积．18.解：（1）在等边三角形中，所以，在折叠后的三棱锥中也成立所以∥因为平面，平面∥平面（2）在等边三角形中，是的中点，所以，因为在三棱锥中，所以，即因为所以（3）由（1

4、）可知∥，结合（2）可得.所以19.（本小题满分14分）设各项均为正数的数列的前项和为，满足，，且构成等比数列．（1）证明：；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有．19.解：（1）当时，，即因为，所以（2）①当时，②①②得整理得因为，所以，即（）所以当时，是公差为2的等差数列.因为构成等比数列，所以，即，解得由（1）可知，所以因为所以是以1为首项，2为公差的等差数列所以数列的通项公式为，.（3）20.（本小题满分14分）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点

5、．（1）求抛物线的方程；（2）当点为直线上的定点时，求直线的方程；（3）当点在直线上移动时，求的最小值．20.解（1）焦点到直线的距离，解得所以抛物线的方程为（2）方法一：设，由（1）得抛物线的方程为，，所以切线，的斜率分别为，所以:①:②联立①②可得点的坐标为，即，又因为切线的斜率为，整理得直线的斜率所以直线的方程为整理得，即因为点为直线上的点，所以，即所以直线的方程为方法二：设点,，由（1）得抛物线的方程为，，所以抛物线在点处的切线的方程为，即.因为，所以.因为点在切线上，所以①同理有②综合①、②得，点的坐标都满足方程因为经过

6、两点的直线是唯一的所以直线的方程为，因为点为直线上的点，所以，即所以直线的方程为（3）方法一：根据抛物线的定义，有，所以由（2）得，，所以所以当时，的最小值为方法二：根据抛物线的定义，有，所以联立，消去得所以，因为所以所以当时，的最小值为21.（本小题满分14分）设函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数在上的最小值和最大值．21.解：（1）当时，，所以，的单调递增区间为.（2）当时，，其导函数开口向上，对称轴，且过点（i）当，即时，，在上单调递增，所以的最小值，的得最大值.（ii）当，即时，令解得，，注意到所以随的

7、变化情况如下表：00↗极大值↘极小值↗所以，因为的最小值因为所以的最大值综上所述，的最小值，最大值