一元二次方程根与系数关系及应用

《一元二次方程根与系数关系及应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、一元二次方程根与系数关系及其应用【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。4、能应用韦达定理分解二次三项式。知识框图：求代数式的值求待定系数一元二次韦达定理应用构造方程解特殊的二元二次方程组二次三项式的因式分解等韦达定理：一元二次方程如果有两实数根，那么。韦达定理逆定理：如果且，则是的两根。一、不解方程，判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程两根的符号。 解：说明：判别根的符号，要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合

2、起来，＜0，两根一正一负；若＞0，还要看的正负方可判别。 二、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例1：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。解法一：解法二： 练习;若x1=是二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根,则a＝，该方程的另一个根x2=.三、计算根的对称式的值例若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．解：由

3、题意，根据根与系数的关系得：(1)(2)(3)(4)说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，，，，，等等．韦达定理体现了整体思想．【练习】1．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝，x1·x2＝，（x1－x2）2＝2．已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2，则k=;3．若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为;四、已知一元二次方程两根之间关系，求字母系数值或取值范围。例1：已知方程的两个根的平方和比两根的积大21，求的值。解：

4、∵方程有两个实数根，　∴△，解这个不等式，得≤0　　设方程两根为　则且 ∵，∴ 解得： 又∵，∴ 【练习】：1、已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，解： 答案：当且m≠0时，两根能同号2、一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。解：x+y=axy=b答案：x+y=5xy=6五、构造新方程求方程组的解：以两个数为根的一元二次方程是。例解方程组解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0①的两根,由方程①解得z1=2,z2=3∴

5、原方程组的解为.此法比代入法要简单得多。六、按已知条件求作新方程例1、已知方程2x2+4x-3=0,不解方程，求作一个一元二次方程，使它的一个根是已知方程两根之和的倒数，另一个根是已知方程两根差的平方.分析：应先求出已知方程的两根之和的倒数及已知方程两根差的平方，然后再用已知两根写出方程的方法，写出所求方程.解：　　答案：【练习】：1.以方程＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）（A）+5y－6=0（B）+5y＋6=0（C）－5y＋6=0（D）－5y－6=02.如果α和β是方程2x2+3x－1=0的两个

6、根，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于和七、二次三项式的因式分解二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式的方法有三种，即1．利用完全平方公式；　2．十字相乘法：即x2+(a+b)x+ab＝(x+a)(x+b)；acx2+(ad+bc)x+bd＝(ax+b)(cx+d)．3．求根法：ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)，　　(1)当b2-4ac≥0时，可在实数范围内分解；(2)当b2-4ac＜0时，在实数范围内不能分解．形如ax²+bxy+cy²：可令ax²+bxy+cy²=0（此处将x看成未知数，而y

7、作为已知数）练习⑴4x2+8x-1（2）27x2-4x-8⑶2x2-5x-3⑷2x2-8xy+5y2附：一元二次方程根的判别式：任何一个一元二次方程用配方法将其变形为，因此对于被开方数来说，只需研究为如下几种情况的方程的根。当时，方程有两个不相等的实数根。　　②　当时，方程有两个相等的实数根.③　当时，方程没有实数根。应用例1.m取什么值时，方程3x２－2(3m－1)x＋3m２－1＝0　　　　(1)有两个不相等的实数根?　　(2)有两个相等的实数根?　　(3)没有实数根?例2已知方程x２－(3－a)x－(3a＋b２)＝0

8、有两个相等的实数根，求实数a与b的值．例3当a、b为何值时，方程x2＋(1＋a)x＋(3a２＋4ab＋4b２＋2)＝0有实数根?例4判别下列关于x的二次方程2(m＋1)x２＋4mx＋(2m－1)＝0的根的情况．例5当m为何值时，关于x的二次三项式x２＋2(m－4)x＋m２＋6m＋2是完全平方式?例6已知a、b、c是△