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1、直线与圆锥曲线的综合问题答案例1（2013-黄冈模拟）已知椭岡飞+令=1（臼>厶>0）的右焦点为尺（3,0）,离心abe.率为⑴若e=¥，求椭圆的方程;⑵设直线与椭圆相交于儿〃两点，若旋•京=0,,求k的取值范围.解：（I）由题意得[a2结合a2=b2+c2,解得a2=12,b2=3.(3分)所以，椭圆的方程为茁牙F.（你:—=11人得(b2+a"k2)x2-a"b2=0.uuv=kx••设A(x.jy.)9B(X-?y.).所以工]一心=
2、J,工]（6分）扩一”依题意,0M丄ON,易知，四边形OMF-N为平行四边形，所以AF：丄BF：,（7分）因为亏=（工]一3,打），FB=
3、（x2~3,v2>所以F、A•F、B=（兀]一3）（.丫、一3）-]]]=1、1一上-）.丫产、一9=0・（8分）9=0,(9分)酎-犷苗-9）（1+F）即&-（人9将其整理为k2=-：；，-（10分）?-lSa-°TS/因为崇£，所以2屁a<3返，12WF<18・（11分）71所以心刍即K€（-k,〔£，-8）.（13分）22例2（2014湖南,21,13分）如图7,O为坐标原点，椭圆q：二+与二1（°〉b〉0）crb_的左、右焦点分别为片卫,离心率为弓；双曲线C?：二•-厶~=1的左、右焦点分CTH别为坊，打，离心率为名已知e}e2=—^F2F4l=V3-l.(1)求C
4、pC?的方程；(2)过存作q的不垂直于y轴的弦如？的屮点.当直线0M与C?交于只0两点吋，求四边形APBQ面积的最小值.22【答案】⑴丁宀1y-/=i(2)4【解析】解:⑴由题可得©2，1丄aH.F2F4=yJa2-^-b2-y]a2-b2以，几同色
5、=2希2_方2，因为华2=*,y/a2+b2—Ja2—h2=V3-12»=血且b+W,所以椭圆C
6、方程为y+/=l,双曲线G的方程为亍宀1・⑵由(1)可得F2(-1,0)，因为直线AB不垂直于y轴，所以设直线AB的方程为兀=罗-1,联立直线与椭圆方程可得(/+2)j?_2今-1=0,则儿+儿=-^―、则儿=-^―,因为7矿+2
7、矿+2旳2_2M(九，九)在直线AB上，所以％=庐巨-1=庐巨，因为为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得AB=2e}xM+2V2色竺+2血=°血匕+"侧直线尸0的方程/T+2矿+2为y=hLx=>yXMYl=——X2立直线PQ与双曲线nJ"得x2/、2n——xI2丿-2=0=>x284-/722n2——则4一/>0=>—2<〃<2,所以4一幷-的坐标为，则点只0到直线力3的距离为S.p-U=—1，因为4n4—/?>0,所以当/72=4^a?=±2时，四边形APBQ4-/r4-n「而积収得最小值为4.22/q例3（2013皿3分）如图，椭圆G才計（沖）经过点彳（2）力〃是
8、经过右焦点尸的任一弦（不经过点乃，设直线力〃与直线/相交于点必记PA,PB,的斜率分别为h,血,屁问：是否存在常数人,使得k+k2=4A?若存在，求久的值；若不存在，说明理由.（W19解：⑴由P1-在椭圆上得，—+—=1,①I2丿cr4/r依题设知a=2c,则b2=3c2,②②代入①解得c2=La2=4>b2=3.22故椭圆C的方程为—+—=1.43（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k,则直线的方程为y=k（x~1）,③代入椭圆方程3x2+4/=12并整理,得（4疋+3）x2-S/Cx+4（/-3）=0.设A（X,pi）,Eg,力），则有X1+X2=4疋+34（疋一3）XX
9、z=；4疋+3在方程③中令x=4得，M的坐标为（4,3灯.33必—厅尹2_厅从而k、=、=X]_1兀2—1上L—丄4-12注意到F,〃共线,则有k=kAF=kBF,即有八=Z2=kX]—1—13y旳_牙所以岛+鼎=—-+—-=2k--・—州+乞一2_⑤2x,x2-(Xj+x2)+l/、"11I+/I—1a*2—1Xj—1—121X]—1X。一18/?922Z④代入⑤得k+k“2k。驶+3=2k—,-24&-3)_加4/+3~4F+3+又k?=k,所以k+k°=2居.2一故存在常数A=2符合题意.(2)方法二：设B(x(),y())(x()Hl),则直线的方程为：尹=』一任
10、一1),%一1令x=4,求得M4,从而直线卩Af的斜率为&32儿_无+12(兀0一1)尸吕(—1),联立兀0-143得力则直线刃的斜率为：k、=~,直线的斜率为：k,=~—2(%-1)-2(兀()-1)2居,所以k}+k2=—+――■—■°2(兀()-1)2(x()-1)%-1故存在常数A=2符合题意.例4(2014安徽，19,13分)如图，已知两条抛物线£1:/=2^1x(A>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线厶和/2,/,与厶,耳分别交于4，禺两点，
