导热微分方程

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1、第六章导热（ConductionHeatTransfer）主讲：荆海鸥授课班级：成型071－32009年11月主要内容6.1导热微分方程6.2一维稳态导热计算6.3非稳态导热6.4一维非稳态导热6.5二维及三维非稳态导热主要内容导热微分方程的建立和分析边界条件和初始条件平壁的稳态导热计算单层平壁多层导热圆筒壁的稳态导热计算单层圆筒壁多层圆筒壁1导热微分方程的建立和分析导热微分方程的概念导热微分方程是导热温度场内温度分布的微分形式的数学表达。建立导热微分方程的必要性傅立叶定律给出了导热量和温度梯度的关系：一维稳态导热可以用傅立叶定律直接求解，多维或非稳态导热的求解必须要首先知道温度场

2、中的温度分布规律才可以求解温度梯度，从而求解导热量的大小。1导热微分方程例如分力变量不定积分代入边界条件,求解常数项将常数代入方程两式相减得1导热微分方程建立导热微分方程的理论依据：能量守恒定律傅立叶定律左图为导热体中的一个微元六面体。设该六面体的材料为：常物性；各向同性；内热源均匀。则在dt时间内：Mdxdydz1导热微分方程设m(x,y,z)点的温度为T。则单位时间内，导入六面体的热量为Mdxdydz设单位时间、单位体积内热源生成的热量为qv,，则导出热量导入热量1导热微分方程整理得：若为稳态、无内热源时导热微分方程是描述导热过程共性的数学表达式，对于任何导热过程，都是适用的，

3、是求解一切导热问题的出发点。1导热微分方程在圆柱坐标系中：若为一维、稳态、无内热源时在球坐标中：1导热微分方程若为一维、稳态、无内热源时，方程为：1导热微分方程有了微分方程，怎样求解？非稳态导热问题的定解条件：①初始条件；②边界条件。定解条件：①初始时刻的温度分布，即初始条件；②物体边界上的温度分布，即边界条件。稳态导热问题的定解条件：边界条件。2初始条件和边界条件规定了边界上的温度值。规定了边界上的热流密度值。规定了边界上物体与流体间的对流换热系数h以及周围流体的温度Tf。导热问题的三类边界条件：3平壁的稳态导热计算大平壁概念厚度<<长和高的尺寸（通常）时，平壁称为大平壁。大平壁

4、导热时，厚度方向的温度变化率>>长和宽度方向的温度变化率，所以忽略边界上长度和宽度方向的导热。工程上很多平壁导热都可以看成是大平壁导热。3.1单层平壁的稳态导热计算T一维稳态无内热源的导热微分方程为积分得温度分布通式边界条件则此时温度的直线分布规律3.2多层平壁的稳态导热计算根据单层导热可以写出整理后两端相加得热阻各等温面上的q值相等3.2多层平壁的稳态导热若是n层平壁，则小结导热微分方程：傅立叶定律：平壁稳态导热量计算：导热例题炉墙内层为460mm厚的硅砖，外层为230mm厚的轻质粘土砖。内表面温度为1600℃，外表面温度为150℃。求热流密度q及硅砖和粘土砖交接面上的温度。解：

5、查附表设T2=1000℃得λ1=1.84[W/(mK)]和λ2=0.4495[W/(mK)]重设T2=1100℃得λ1=1.87和λ2=0.4625计算得q”=1933W/m2计算得T2=1116℃误差：答：热流密度为1933W/m2，接触面温度为1110℃。误差：4圆筒壁的稳态导热计算当时，可忽略轴向的导热。圆筒壁导热在工程中应用很多。如圆筒式换热器。特点：导热沿半径方向自内向外（或自外向内）；等温面的面积逐渐增大（或减小）；导热热流量Φ沿途不变；单位面积上的热流量逐渐减小（或增大）；单位长度上的热流量相等的。4.1单层圆筒壁的稳态导热计算由傅立叶定律可知分离变量得定积分热流量为

6、单位长度上的热流量为4.1单层圆筒壁的稳态导热计算用导热微分方程如何导出其计算式？即4.1单层圆筒壁的稳态导热当时，可按平壁计算。此时用来计算导热面积A。用作为厚度δ。然后代入平壁导热计算公式计算到热量。即4.2多层圆筒壁的稳态导热n层圆筒壁时热流量为三层圆筒壁导热时，热流量为单位长度上的热流量为关于例题求解方法请看例题：P96的例题6.1，求解q的大小。P97的例题6.2，求解q和夹层壁面温度T的大小。P99的例题6.3，求解壁厚δ的情况。求解方法（1）：由导热问分方程建立温度T与坐标和时间的具体关系式；求解温度梯度；代入傅里叶定律获得热流量计算式；代入已知条件求解题目要求的未知

7、数。求解方法（2）：直接由傅里叶定律分力变量后积分获得热流量计算式；代入已知条件求解题目要求的未知数。关于例题求解方法第二种方法对于导热系数为变数，或沿导热方向导热界面积为变量的情形尤为有效。如分离变量，并注意到φ与x无关，得将上式右端乘以,得所以有所以，只要把具体问题中的A与x之间的关系代入之后，就可以进行计算了。即，回归到即，用导热系数的算数平均值代入后，即适用于变导热系数的计算问题。关于接触热阻以上的计算是在假设接触面两侧保持同一温度，即假定两层壁面之间保持了良