统计与概率10-6排列与组合(理)

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1、重点难点重点：1.两个计数原理的理解和应用．2．排列与组合的定义、计算公式，组合数的两个性质．难点：1.如何区分实际问题中的“类”与“步”．2．组合数的性质和有限制条件的排列组合问题．知识归纳1．分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．2．分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做

2、第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．(2)组合数的两个性质①Cnm＝Cnn－m；②Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1.误区警示1．正确区分“分类”与“分步”，恰当地进行分类，使分类后不重、不漏．2．正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序”和“有序”区分开来．3．正确区分分堆问题和分配问题一、“分类”与“分步”，应该如何理解与区分(1)分类：“做一件事，完成它可以有n类办法”．每一类办法中的每一种方法都能将这件事完成．分类时，首先据问题特点确定一个合理的分类标准，在这个“标

3、准”下分类能够做到：①完成这件事的任何一种方法必须属于其中的某一类．(不漏)②分别在不同两类中的两种方法不能相同．(不重复)(2)分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤．必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成．所以区分一种分法是分类还是分步就看这种分法中的一种方法能否完成这件事情．二、排列、组合问题的类型及解答策略排列、组合问题，通常都是以选择题或填空题的形式出现在试卷上，它联系实际，生动有趣；但题型多样，解法灵活．实践证明，备考有效的方法是将题型与

4、解法归类，识别模式、熟练运用．下面介绍常见排列组合问题的解答策略．(1)相邻元素捆绑法．在解决某几个元素必须相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个元素参与排列．[例1](2010·重庆理，9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有()A．504种B．960种C．1008种D．1108种分析：甲、乙相邻看作一个元素与其它元素一块排，由于丙不排在第1天丁不排在第7天，因此按甲乙的排位进行分类．解

5、析：甲、乙相邻的所有方案有A22A66＝1440种；其中丙排在10月1日的和丁排在10月7日的一样多，各有：A22A55＝240种，其中丙排在10月1日且丁排在10月7日的有A22A44＝48种，故符合题设要求的不同安排方案有：1440－2×240＋48＝1008种，故选C.答案：C(2)相离问题插空法．相离问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”．[例2](2010·北京理，4)8名学生和2位老师站成一排合影，

6、2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A92B．A88C92C．A88A72D．A88C72解析：将所有学生先排列，有A88种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，因此一共有A88A92种排法．答案：A(3)定序问题属组合．排列时，如果限定某些元素或所有元素保持一定顺序称为定序问题，定序的元素属组合问题．[例3]信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是________．解法2：定序问题属组合．五面旗占五个位置，从中选取两个位置挂白

7、旗，其余位置则挂红旗．有C52＝10种方法．答案：10(4)定元、定位优先排．在有限制条件的排列、组合问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑．[例4](2010·山东理)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A．36种B．42种C．48种D．54种分析：丙占最后一位不必考虑．“甲在前两位，乙不在第一位”，故

8、应以甲为标准进行分类．解析：若甲在第一位有A44＝24种方法；若甲在第二位有C31A33＝18种方法，故共有18＋24＝42种方法．答案：B(5)至多、至少间接法．含“至多”、“至少”的排列组合问题，是需要分类问题．可用间接法，即排除法，但仅适用于反面情况明确且易于计算的情况．[例5](09·湖南)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、