2、，建立如图所示的直角坐标系.⑴写出直线的方程;(2)计算出点P、Q的坐标:(3)证明：山点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.讲解：通过读图，看出才，氏点的坐标.(1)显然A(1,1-Z),B(-1,1+r),于是直线A'B'的方程为y=-从+1；(2)由方程组2?兀2+)厂y=-tx=人解出P(0,l)、Q(^-^+1,1+厂QT=1-t2/(1—r)由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为和反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.需要注意的是，Q点的坐标本质上是三角中的万能公
3、式，有趣吗？X2y2例2已知直线I与椭岡—+Zt=1(6Z>/2>0)有且仅有一个交点Q且与x轴、y轴分别交于R、S,a~lr求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.讲解：从直线/所处的位置，设出直线/的方程，由已知，直线I不过椭圆的四个顶点，所以设直线I的方程为y=kx+m伙工0).代入椭圆方程胪兀2+a2y2=a2b2r得b2x2+a2(k2x2+2kmx-}-m2)=a2b2.化简后，得关于X的一元二次方程(a2k~+b2)x2+2ka2mx+a2m2-a2b2=0.于是其判
4、别式△=(2肋$加)2一4@2鸟2+/72)(t/2w2_€/2/?2)=46Z2/?2(a2^2+/?2_2)由已知，得△=().即a2k2+b2=m2.①在直线方程y=kx+m中，分别令y=o,x=0,求得/?(-—,O),S(O,zn).k令顶点P的坐标为(x,y),mx=山己知，得］ky=m.解得Xm=y.尤+尤=1，即为所求顶点P的轨迹方程.9191对y-方程㊁+佯=I形似椭圆的标准方程，你能画出它的图形吗？兀$)，2代入①式并整理，得22q3已知双曲线二一厶~=1的离心率幺=一，过A(d
5、,O),B(O,—b)的直线到原点的距离是crh~3V3■2(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=kx+5(k^0)交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上，求k的值.2原点到直线AB:±-21=i的距离abahaba/3~~~T~故所求双曲线方程为±1_v2=J3丿(2)把y=kx+5代入x-3y2=3中消去y，整理得(1-3^2)x2-30Z:x-78=0.设C(X］，y1),1>(兀2，九)，CD的中点是£(x0，儿”则xx+x915k,=5x0==•=kx(、+5=2-3k2
6、00/.x0+ky0+k=0,15k1-3R2+1-5k?+k=0,又k工0；k23k2故所求k=±V7.为了求出k的值，需要通过消元，想法设法建构k的方程.例4已知椭圆C的中心在原点，焦点尺、F2在x轴上，点P为椭圆上的-个动点，且ZFiPF2的址大值为90°,直线I过左焦点R与椭圆交于A、B两点，AABF2的面积最大值12.(1)求椭【员IC的离心率；(2)求椭I员］C的方程・讲解：⑴设IPFXl=/plPF21=r2,FxF2l=2c,MAPFXF2,由余弦定理，得cosZF.PF.=2中2
7、2甘22"4/-4亡_]=]_2护=o,)2-1>2号解出―血2・（2）考虑直线/的斜率的存在性,可分两种情况:i）当k存在时，设I的方程为y=k（x+c）22椭圆方程岭+斧】,心，计（“）由舞.得a2=2c2.b2于是椭圆方程可转化为x2+2y2一2c2=0将①代入②，消去y得X2+2k2（x+c）2-2c2=0,整理为X的一元二次方程，得（1+2R2）/+4伙2*+2疋伙2—1）=0.则冷、X2是上述方程的两根.且比—无1=2屈J1+/-11+2/AB边上的高h=F”IsinZBF,F.=2c
8、x山,J1+T厂也可这样求解:S=^F}F2-y}-y2=2后将企2后Iii）当k不存在时，把直线x=—c代入椭圆方程得y=±^-c,AB=y/2c,S=-42cxy/2c2由①②知S的最大值为V2C2由题意得V2c2=12所以C2=6yl2=b2a2=141故当AABF2面积最大时椭圆的方程为：-V2）/下而给出本题的另一解法，请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：x=my一c①（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）椭圆的方程为
