历届数学高考中的试题精选——空间向量与立体几何

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1、taoti.tl100.com你的首选资源互助社区历届高考中的“空间向量与立体几何”试题选讲1.(2008海南、宁夏理)如图,已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,∠PDA=60°。(1)求DP与CC1所成角的大小;(2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小。2.(2008安徽文)如图,在四棱锥中,底面四边长为1的菱形,,,,为的中点。(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小;(Ⅱ)求点B到平面OCD的距离。taoti.tl100.com你的首选资源互助社区ABCDOO1ABOCO1D3.(2005湖南文、理)如

2、图1,已知ABCD是上、下底边长分别为2和6,高为的等腰梯形,将它沿对称轴OO1折成直二面角,如图2。  (Ⅰ)证明:AC⊥BO1;(Ⅱ)求二面角O-AC-O1的大小。4.(2007安徽文、理)如图,在六面体中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平面,平面ABCD,DD1=2。(Ⅰ)求证:与AC共面,与BD共面.(Ⅱ)求证:平面(Ⅲ)求二面角的大小.taoti.tl100.com你的首选资源互助社区5.(2007海南、宁夏理)如图,在三棱锥中,侧面与侧面均为等边三角形,,为中点.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)求二

3、面角的余弦值.6.(2007四川理)如图,是直角梯形,∠=90°,∥,=1,=2,又=1,∠=120°,⊥,直线与直线所成的角为60°.(Ⅰ)求证:平面⊥平面;(Ⅱ)求二面角的大小;(Ⅲ)求三棱锥的体积.taoti.tl100.com你的首选资源互助社区ABMNCl2l1H7.(2006全国Ⅰ卷文、理)如图,、是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段.点A、B在上,C在上,。(Ⅰ)证明AC⊥NB;(Ⅱ)若,求与平面ABC所成角的余弦值。8.(2006福建文、理)如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,(I)求证:平面

4、BCD;(II)求异面直线AB与CD所成角的大小;(III)求点E到平面ACD的距离。taoti.tl100.com你的首选资源互助社区历届高考中的“空间向量与立体几何”试题选讲(参考答案)1.解:如图,以为原点,为单位长建立空间直角坐标系.则,.连结,.在平面中,延长交于.设,由已知,由ABCDPxyzH可得.解得,所以.(Ⅰ)因为,所以.即与所成的角为.(Ⅱ)平面的一个法向量是.因为,所以.可得与平面所成的角为.2.解:作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系taoti.tl100.com你的首选资源互助社区

5、,(1)设与所成的角为,,与所成角的大小为(2)设平面OCD的法向量为,则即取,解得设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,,.所以点B到平面OCD的距离为3.解:(I)证明由题设知OA⊥OO1,OB⊥OO1.所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,即OA⊥OB.故可以O为原点,OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图3,则相关各点的坐标是A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,1,),O1(0,0,).从而,所以AC⊥BO1.(II)解:因为所以BO1⊥OC,由(I)AC⊥BO1,

6、所以BO1⊥平面OAC,是平面OAC的一个法向量.设是0平面O1AC的一个法向量,由得.设二面角O—AC—O1的大小为,由、的方向可知,>,所以cos,>=taoti.tl100.com你的首选资源互助社区4.解(向量法):以D为原点,以DA,DC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图,则有A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),(Ⅰ)证明:于是与AC共面,与BD共面.(Ⅱ)证明:内的两条相交直线,又平面(Ⅲ)解:设于是设于是5.证明:(Ⅰ)由题设,连结,为等腰直角三角形,所以,且,又为等腰三角形,故,

7、且,从而.所以为直角三角形,.又.所以平面.(Ⅱ)解:以为坐标原点,射线分别为轴、轴的正半轴,建立如图的空间直角坐标系.设,则.的中点,taoti.tl100.com你的首选资源互助社区..故等于二面角的平面角.,所以二面角的余弦值为.6.解:(Ⅰ)∵∴,又∵∴(Ⅱ)在平面内,过作,建立空间直角坐标系(如图)由题意有,设,则由直线与直线所成的解为,得,即,解得∴,设平面的一个法向量为,则,取,得平面的法向量取为设与所成的角为,则显然,二面角的平面角为锐角,故二面角的平面角大小为(Ⅲ)解法一:由(Ⅱ)知,为正方形∴taoti.tl10

8、0.com你的首选资源互助社区(Ⅲ)解法二:取平面的法向量取为,则点A到平面的距离∵,∴7.解:如图,建立空间直角坐标系M-xyz.令MN=1,则有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),(Ⅰ)∵MN是l1、l2的公垂

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