离散控制系统的经典法设计

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1、第12章离散控制系统的经典法设计吉林大学仪器科学与电气工程学院随阳轶连续与离散控制系统主要内容概述控制系统的离散化方法PID控制器及其算法12.1概述数字控制器的设计大体上分成两大类：经典法设计和状态空间法。经典法设计可分两种方法：离散化法和直接法。离散化法则是先设计连续系统的控制器，然后通过某种离散化方法转化成数字控制器，这种方法仅能逼近连续系统的性能，不会优于连续系统的性能。直接法为Z平面的根轨迹法、W平面的伯德图法等等。12.2控制系统的离散化方法前向差分法；后向差分法；双线性变换法；脉冲响应不变法；阶跃响应不变法；零、极点匹配法等六种方法。前向差分法已知控制器的传递函数为传递函数

2、转化成微分方程再将微分方程改写成积分形式=u(kT-T)+从(kT-T)到kT的面积前向差分法（续1）由差分方程求其Z变换脉冲传递函数前向差分法（续2）比较s与z的关系得：故前向差分法就是将模拟控制器的传递函数D(s)中的s用代替即可。必须强调用前向差分关系将连续控制器离散化成数字控制器时稳定性不能保证。因此很少应用。后向差分法推导过程同前向差分法，只是变为后向矩形积分。脉冲传递函数比较s与z的关系得：连续系统时是稳定的，通过后向差分离散化后，离散系统一定稳定。双线性变换法推导过程同前向差分法，只是变为梯形积分。对上式取Z变换脉冲传递函数双线性变换法（续1）比较s与z的关系得：该变换保证

3、系统的稳定性不改变。三种变换关系总结如下：前三种方式的稳定性讨论1.前向差分z与s的关系令︱z︱为1，对应s平面为一个圆，则以1/T为半径的极点映射到Z平面单位圆内。对于整个S左半平面映射Z平面是1为边缘的整个Z平面。令则前三种方式的稳定性讨论（续1）2.后向差分z与s的关系可见s的虚轴映射为以点(1/2，0)为圆心，1/2为半径的圆，s左半平面映射到圆内。前三种方式的稳定性讨论（续2）3.双线性变换z与s的关系z的模为1，可见为单位圆三种变换法的运用举例例12.1分别用前向差分法、后向差分法和双线性变换法将传递函数离散化成脉冲传递函数。解：(1)三种变换法的离散化①前向差分法三种变换法

4、的运用举例（续1）②后向差分法③双线性变换法三种变换法的运用举例（续2）通过转换成脉冲传递函数对应的极点(2)三种变换法的稳定性①前向差分法极点在单位圆外，系统不稳定。三种变换法的运用举例（续3）②后向差分法极点在单位圆内，系统是稳定的。三种变换法的运用举例（续4）③双线性变换法极点在单位圆内，系统是稳定的。通过这三种方法得到的离散化结果与通过的数学关系的离散化结果比较，双线性变换法更接近准确值。阶跃响应不变法使离散近似后数字控制器的阶跃响应序列，与连续控制器的阶跃响应采样值相等。设D(z)为离散控制器，D(s)为连续控制器。即脉冲响应不变法离散近似后数字控制器的脉冲响应序列，与连续控制

5、器的脉冲响应采样值相等。T是补偿采样引进的1/T因子。例12.2已知连续控制器的传递函数试用阶跃响应不变法和脉冲响应不变法将连续控制器离散成数字控制器。解：(1)阶跃响应不变法阶跃脉冲响应不变法举例(2)脉冲响应不变法零极点匹配等效法通过映射保证连续和离散控制器的零极点匹配。映射规则如下：(1)D(s)的全部有限零点和极点按照映射到Z平面。(2)D(s)的全部无限远的零点映射到Z平面为z=-1。(这是近似映射关系)解释如下：零极点匹配等效法（续1）相当于jω轴上从0到π/T这段对应于Z平面从z=1到z=-1的半个单位圆。当ω=ωs/2=π/T时，该ω是信号的最高频率，高于此频率则不满足采

6、样定理。另外通常D(s)具有低通特性，即因此将s→∞的零点映射到Z平面，相当于与D(z)的z=-1的零点对应，也就是说在的D(s)上有一个s→∞的零点时，则在D(z)的分子上补一个(z+1)因子，有两个s→∞的零点，在D(z)的分子上补一个(z+1)2，以此类推。零极点匹配等效法（续2）(3)让数字控制器的增益在某一主频处与模拟控制器的增益匹配，即①若D(s)具有低通特性则令②若D(s)具有高通特性则令③若D(s)既不具有高通特性也不具有低通特性则在一个特殊频率处令零极点匹配等效法举例例12.3已知连续控制器的传递函数试用零极点匹配等效法将连续控制器离散成数字控制器。解：(1)将连续系统

7、的有限零极点映射到Z平面①有限零点②有限极点零极点匹配等效法举例（续1）(2)将连续系统的s→∞零点映射到Z平面，对应于D(z)分子上的(z+1)因子。零极点匹配等效法举例（续2）(3)匹配增益因子通过零极点匹配等效法，得到的总的脉冲传递函数为：六种离散化方法的特点设计者应该交替使用几种等效技术，通常零极点匹配映射法和双线性变换法较好。1.前向差分法：稳定性不能保证，很少使用。2.后向差分法：无稳定性问题，并维持稳态增益不变。但是得