第一节解线形方程组的消元法

《第一节解线形方程组的消元法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第三章线性方程组本章主要内容一、解线形方程组的消元法二、向量及其线性计算三、向量间的线性关系四、向量组的秩和矩阵的秩五、线性方程组解的结构第一节解线形方程组的消元法含有m个方程、n个未知量的线性方程组的一般形式为(3.1)记方程组(3.1)可以写成矩阵形式其中A称为方程组(3.1)的系数矩阵，b称为方程组(3.1)的常数项矩阵，X称为n元未知量矩阵。记称为方程组(3.1)的增广矩阵。如果可以使(3.1)中的m个等式都成立，则称有序数组为方程组(3.1)的一个解。方程组(3.1)的解的全体称为方程组的解集合。如果两个方程组的解集合相等，则称这两

2、个方程组同解。一、用消元法解线性方程组的例例1解线性方程组解方程组中的方程①分别乘以(-2)，(-1)加到方程②和③上，消去x1，得①④⑤①②③(3.2)将⑤式两边除以(-2)，并于④式交换位置，得①⑥④再将⑥式的5倍加到④式上，得方程组(3.3)与线性方程组(3.2)同解，这一过程称为消元过程。方程组(3.3)中自上而下的各方程所含未知量个数依次减少，这种形式的方程称为阶梯形方程组。①⑥⑦(3.3)在(3.3)中，由⑦式可得将带入⑥得将代入①可得所以原方程组的解为由阶梯形方程组逐次求得各未知量的过程，称为回代过程。线性方程组的这种解法称为消

3、元法。求解过程中，运用了三种初等变换：(1)交换两方程的位置；(2)某个方程的两边同乘以一个非零的数；(3)把一个方程的若干倍加到另一个方程上。在求解的过程中，阶梯形方程组(3.3)所对应的矩阵(3.4)称为阶梯形矩阵。其特点是：(1)自上而下的各行中，第一个非零元素左边零的个数随行数增加而增加。(2)元素全部为零的行(如果有的话)位于矩阵的最下面。一般，若一个阶梯形矩阵满足下列条件：(1)各非零行的第一个非零元素都是1；(2)各非零行的第一个非零元素所在列的其他元素都是零，则此阶梯形矩阵称为简化的或规范的阶梯形矩阵。例2解线性方程组解对方程

4、组的增广矩阵施以初等行变换，化为阶梯形矩阵：由最后的阶梯形矩阵，可得对应的阶梯形方程组这是一个矛盾方程组，无解，所以原方程组也无解。例3解线性方程组解对方程组的增广矩阵施以初等行变换，化为阶梯形矩阵：所对应的阶梯形方程组为其中最后一个方程组已化为“0=0”，说明该方程是多余方程，上述方程组可改写为二、高斯消元法设的第一列中，把的第一列的倍加到它的第i行上去，可以把转化为对此矩阵重复上述变换(必要时，可以重新排列未知量的顺序)，将转化为阶梯形矩阵：由后面的m-1行，右边的n列可以组成一个矩阵，(3.6)其中它对应的阶梯形方程组为(3.7)有以下

5、结论：1.，于是(3.7)中的第r+1方程是一个矛盾方程。因此方程组(3.7)无解，原方程组(3.1)也无解。2.于是方程组(3.7)有解，其中后m-r各等式“0=0”表明原方程组(3.1)中相应的方程是多余方程。这时可能出现两种情形：(1)如果r=n，则方程组(3.7)相当于自上而下依次求出的值，则方程组(3.7)有唯一解，因而原方程组(3.1)也有唯一解。这一回代过程可以由相应的阶梯形矩阵自上而下逐次施以初等行变换，化为从而直接得到原方程组的解(2)如果r

6、定的值，因此方程组(3.7)有无穷多组解。实际计算时，可以对阶梯形矩阵(3.6)自上而下逐次施以初等行变换，把它转化为如果由上面的矩阵直接可得原方程组的解。(为任意常数)这样的解称为方程组(3.1)的一般解。定理3.1线性方程组(3.1)的增广矩阵通过初等行变换可以化为阶梯形矩阵，对应的阶梯形方程组(3.7)与原方程组(3.1)同解，并且1.当时，原方程组(3.1)无解；2.当时，原方程组(3.1)有唯一解；3.当时，原方程组(3.1)有无穷多组解。在线性方程组(3.1)中，如果常数项全为零，即则称此方程组为齐次线性方程组；否则，称(3.1)

7、为非齐次线性方程组。定理3.2齐次线性方程组(3.8)的增广矩阵通过初等行变换可以变化为阶梯形矩阵(3.9)，并且1.当r=n时，齐次线性方程组(3.8)仅有零解；2.当r

8、施以初等行变换由此可得今自由未知量得原方程组的一般解为例5讨论a,b为何值时，线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？当有无穷多解时，求出它的一般解。解对方程组的增广