乃奎斯特稳定盘踞

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1、1奈魁斯特稳定判据2奈魁斯特稳定判据基本思想：利用系统的开环频率特性判别闭环系统的稳定性。31、奈魁斯特稳定判据：对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的。设想：如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角定理知：该封闭曲线在F(s

2、)平面上的映射包围原点的次数应为：当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。4这里需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性相联系？它可分为三部分：Ⅰ部分是正虚轴，Ⅱ部分是右半平面上半径为无穷大的半圆；；Ⅲ部分是负虚轴，。第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特路径。如下图：ⅠⅡⅢ5F(s)平面上的映射是这样得到

3、的：以代入F(s)并令从变化，得第一部分的映射；在F(s)中取使角度由，得第二部分的映射；令从，得第三部分的映射。稍后将介绍具体求法。得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算，式中：是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出。当时，系统稳定；否则不稳定。第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的的辅助方程为，为开环频率特性。因此，有以下三点是明显的：6②F(s)对原点的包围，相当于对(-1,j0)的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数N与对(-1,j0)点的包围的次数一样。奈魁斯特路径

4、的第Ⅰ部分的映射是曲线向右移1；第Ⅱ部分的映射对应，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映射的关于实轴的对称。③F(s)的极点就是的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是在右半平面的极点数。①由可求得，而是开环频率特性。一般在中，分母阶数比分子阶数高，所以当时，，即F(s)=1。（对应于映射曲线第Ⅱ部分）7F(s)与的关系图。ⅠⅡⅢ8[奈魁斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为N，（N>0顺时针，N<0逆时针），则闭环系统在右半平面的极点数为

5、：。若，则闭环系统稳定，否则不稳定。[奈魁斯特稳定判据的另一种描述]：设开环系统传递函数在右半s平面上的极点数为，则闭环系统稳定的充要条件为：在平面上的开环频率特性曲线极其映射当从变化到时，将以逆时针的方向围绕(-1,j0)点圈。对于开环系统稳定的情况，，则闭环系统稳定的充要条件是开环频率特性曲线极其映射不包围(-1,j0)点。不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为：。9[例5-6]开环传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。[解]：开环系统的奈氏图如右。在s右半平面的极点数为0，绕(-1,j0)点的圈数N

6、=0，则闭环系统在s右半平面的个数：。故闭环系统是稳定的。10[例5-7]设开环系统传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。[解]：开环极点为-1，-1j2，都在s左半平面，所以。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕(-1,j2)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为：，闭环系统是不稳定的。11[例5-8]系统结构图如右：试判断闭环系统的稳定性并讨论稳定性和k的关系。-[解]：开环系统奈氏图是一个半径为，圆心在的圆。显然，k>=1时，包围(-1,j0)点，k<1时不包围(-1,j0)点。由图中看出：当

7、k>1时，奈氏曲线逆时针包围(-1,j0)点一圈，N=-1，而，则闭环系统是稳定的。12当k=1时，奈氏曲线通过(-1,j0)点，属临界稳定状态。当k<1时，奈氏曲线不包围(-1,j0)点，N=0，，所以，闭环系统不稳定。上面讨论的奈魁斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西幅角定理的条件。但是对于Ⅰ、Ⅱ型的开环系统，由于在虚轴上（原点）有极点，因此不能使用柯西幅角定理来判定闭环系统的稳定性。为了解决这一问题，需要重构奈魁斯特路径。132、奈魁斯特稳定判据在Ⅰ、Ⅱ型系统中的

8、应用：具有开环0极点系统，其开环传递函数为：可见，在原点有重0极点。也就是在s=0点，不解析，若取奈氏路径同上时（通过虚轴的整个s右半平面），不满足柯西幅角定理。为了使奈氏路径不经过原点而仍然能包围整个s右半平面，重构奈氏路径如下：以原点为圆心，半径为无穷小做右半圆。这时的奈氏路径由以下四部分组成：14Ⅰ部分：正虚轴，，Ⅱ部分为半径为无穷大的右半圆；Ⅲ部分负