[精品]奇偶分析

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1、奇偶分析我们知道，全体自然数按被2除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类。被2除余1的属于一类，被2整除的属于另一类。前一类屮的数叫做奇数，后一类中的数叫做偶数。关于奇偶数冇一些特殊性质，比如，奇数工偶数，奇数个奇数Z和是奇数等。灵活、巧妙、有意识地利用这些性质，加上止确的分析推理，可以解决许多复杂而冇趣的问题。用奇偶数性质解题的方法称为奇偶分析，善于运用奇偶分析，往往有意想不到的效果。例1下表屮有15个数，选出5个数，使它们的和等于30,你能做到吗？为什么？135791357913579分析与解：如

2、果一个一个去找、去试、去算，那就A费事了。因为无论你选择哪5个数，它们的和总不等于30,而且你还不敢马上断言这是做不到的。最简单的方法是利用奇偶数的性质来解，因为奇数个奇数Z和仍是奇数，表屮15个数全是奇数，所以要想从中找出5个使它们的和为偶数，是不可能的。例2小华买了-•木共有96张练习纸的练习木，并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第192面）。小丽从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。试问，小丽所加得的和数能否为2000?解：不能。由于每一张上的两数之和都为奇数，而

3、25个奇数之和为奇数，故不可能为2000o说明：“相邻两个自然数的和一定是奇数”，这条性质几乎是显然的，但在解题过程中，能有意识地运用它却不容易做到，这要靠同学们多练习、多总结。例3冇98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。:不能o如果可以按要求排成，每排中都有一个孩了的号码数等于同排中其余孩了号码数的和，那么每一排屮各号码数Z和都是某一个孩子号码数的2倍，是个偶数。所以这98个号码数

4、的总和是个偶数，但是这98个数的总和为1+2+・・・+98二99X49,是个奇数，矛盾！所以不能按要求排成。例4如右图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：冇无口J能使得在同一•条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。解：不可能。如果每条直线上的红圈数都是奇数，而五角星有五条边，奇数个奇数Z和为奇数，那么五条线上的红圈共冇奇数个（包括重复的）。从另一个角度看，由于每个圆圈是两条直线的交点，则每个圆圈都要计算两次，因此，每个红圈也都算了两次，总个数应为偶数，得出矛盾。所以，不可能使得在同一条直线上的红圈数

5、都是奇数。说明：上述两题都是从两个不同的角度去分析处理同一个量，而引出孑盾的。例5一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话。某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子,每个骗子两旁都是老实人。外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共冇45人。”另一个成员李四说：“张三是老实人。”请判断李四是老实人还是骗了？分析与解：根据俱乐部的全体成员围坐一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人的条件，可知俱斥部中的老实人与骗

6、子的人数相等，也就是说俱乐部的全体成员总和是偶数。而张三说共有45人是奇数，这说明张三是骗子，而李四说张三是老实人，说了假话，所以李四也是骗子。说明：解答此题的关键在于根据题设条件导出老实人与嵋了的人数相等，这里实质上利用了对应的思想。类似的问题是：围棋盘上有19X19个交叉点，现在放满了黑子与白子，且黑子与白子相间地放，并使黑子（或白子）的上、下、左、右的交叉点上放着白子（或黑子）。问：能否把黑了全移到原來的口了的位置上，而白了也全移到原來黑了的位置上？提示：仿例6。答：不能。例6某市五年级99名同

7、学参加数学竞赛，竞赛题共30道，评分标准是基础分15分，答对一道加5分，不答记1分，答错一道倒扣1分。问：所冇参赛同学得分总和是奇数还是偶数？解：对每个参赛同学来说，每题都答对共可得165分，是奇数。如答错一题,就要从165分中减去6分，不管错儿道，6的倍数都是偶数，165减去偶数，差述是奇数。同样道理，如有一题不答，就要减去4分，并且不管有几道题不答，4的倍数都是偶数，因此，从总分中减去的仍是偶数，所以每个同学的得分为奇数。而奇数个奇数Z和仍为奇数，故99名同学得分总和一定是奇数。例7桌上放冇77枚

8、正而朝下的硬币，第1次翻动77枚，第2次翻动其屮的76枚，第3次翻动其中的75枚……第77次翻动其中的1枚。按这样的方法翻动硕币，能否使桌上所有的77枚硬币都正面朝上？说明你的理由。分析：对每一枚唤币來说，只要翻动奇数次，就可使原先朝下的一面朝上。这一事实，对我们解决这个问题起着关键性作用。解：按规定的翻动，共翻动1+2+…+77二77X39次，平均每枚硬币翻动了39次，这是奇数。因此，对每一枚碾币来说，都可以使原先朝下的一面翻朝上。注意到77X39=7