问题5.4如何顺畅求解复杂数列的求和问题（解析版）

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1、2017届高三数学跨越一本线精品问题!1!:如何顺畅求解复杂数列的求和问题数列求和是历年高考命题的热点，数列求和的方法取决于其通项公式的形式，基本思路是将其转化为等成数列、等比数列的求和问题或通过裂项求和进行求解.一、公式法公式法是数列求和的最基本的方法.也是数列求和的基础.其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和.利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论.【例1】设｛色｝为等差数列，S”为数列｛色｝的前刀项和，已知S7T,Sl5=75,人为数S列的前刀项和，求人・nS【分析】利用

2、等差数列的求和找坷、d的等式，解出坷、d,判断数列｛」｝的类型，在n用公式求解.【解析】设等差数列的首项为公差为d,则S严吟+学心—％,Jg+21〃=7:°]+3〃=1••[15Q]+105〃=75'即]q+7〃=5‘15解得匕]=一2,d=1?—=-2+—■n222S1••擞列咱是等差数列，其首项为〜公差忖【点评】（1）直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数（字母）吋，应对其公比是否为1进行讨论.（2）几类可以使用公式求和的数列①等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的

3、数列，它们可以使用【点评】（1）直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数（字母）吋，应对其公比是否为1进行讨论.（2）几类可以使用公式求和的数列①等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解.①奇数项和偶数项分別构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时，分別使用等差数列或等比数列的求和公式.②等差数列各项加上绝对值，等差数列乘以(一1)”.【小试牛刀】【2017届重庆巴蜀中学高三文12月月考】已知数列｛%｝满足3。州

4、+色=0,4a2=--,则｛%｝的前10项的和等于()A.-6(1-3-10)B.

5、(1-3_,°)C.3(1-3-10)D.3(1+3"°)【答案】C【解析】设由题设可知数列是公比为-丄，首项是4的等比数列.故其前10项和为3510=——=3(1-3-*°),应选C.1+-3二、分组法将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般的数列求和问题转化成特殊数列求和问题.运用这种方法的关键是将通项变形.“合项”法是利用加法的交换律和结合律将“不规则和”转化为“规则和”，化繁为简.【例2】【2016届河北省衡水中学高三二

6、调】已知数列｛色｝中，=a2=l,且色+2-色=1，则数列｛色｝的前100项和为()A.2550B.2600C.2651D.2652【分析】分偶数项与奇数项分别求和【解析】由题易知数列｛色｝奇数项与偶数项分别组成一1,1为首项，公差为1的等差数列,所以不难得到前100项的和.50(1+50)50(1+50)&“)=+—=2550,故选A.22【点评】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化.特别注意在含有字母

7、的数列屮对字母的讨论.【小试牛刀】【2017届江西吉安市一中高三理上段考】已知数列｛色｝满足：当p+q=]A（p,qwN*,p

8、需普通高中高三理上学期考试】在等差数列｛色｝中，公差dHO,q=7,且勺，q,dm成等比数列.⑴求数列｛%｝的通项公式及其前n项和S”；（2）若乞=」一,求数列｛亿｝的前〃项和7；.%陽+i【分析】⑴市冬，'4°成等比数列=>（7+〃）（7+9d）=（7+4d），=>d=2=>an=2/7+5(7+2〃+5)t?==2=n2+6n；(2)^(1)可得®=5(2/?+5)-(2/z+7)2I<2a7+52z?+7【解析KDVa2,111•••+9112/1+52n+7)5n14/1+49成等比数列…・・(7+d)(7

9、+9d)=(7+4d)2,乂Tdh0d=2・cin=2n+5,S.(7+2〃+5M*+6〃.2⑵由⑴可得仇=・・・_1(1_41L111>5n（79I9112n+52〃+7丿14〃+49(2n+5)・(2n+7)2{2n+52n+7【点评】（1）裂项相消法求和的原理及注意问题①原理：把数列的通项拆成两项Z差，在求和时屮间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.