高中数学活题巧解方法总论

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1、第一部分高中数学活题巧解方法总论一、代入法若动点、P(x,刃依赖于另一动点0(X(),y())而运动，而Q点的轨迹方程已知(也可能易于求得)且可建立关系式兀0=/(兀)，儿=8(兀)，于是将这个0点的坐标表达式代入已知(或求得)曲线的方程，化简后即得P点的轨迹方程，这种方法称为代入法，乂称转移法或相关点法。【例11(2009年高考广东卷)已知曲线C：y=x2与直线儿x-y+2=0交于两点A(xA,yA)和B(勺，九)，且®<可，记曲线C在点A和点B之间那一段厶与线段仙所围成的平面区域(含边界)为D设点P(s,t)

2、是厶上的任一点，且点P与点A和点B均不重合.若点Q是线段AB的屮点，试求线段PQ的屮点M的轨迹方程；.15【巧解】联立y=x2与y=x+2得心=2,则AB中点Q(-,-)，2215-+5一+/设线段PQ的屮点M坐标为(x,y),则兀二一，)，=—,22即s=2x-丄,f=2y—丄，乂点P在曲线C上，22・・・2y--=(2x一丄尸化简可得y=/一兀+11,又点尸是厶上的任一点,228且不与点A和点B重合,则一l<2x--<2,BP--<%<-,244・•・中点M的轨迹方程为y=x2-x+—(-—<%<—).844

3、【例2](2008年，江西卷)设戶(兀0，儿)在直线x=m(y^±m,Q

4、,2->?]2=I可得(3x-3y_■)(3x+3y-—)=2mmi2即(x——)2-y2=—为重心G所在曲线方程3m9巧练一:（2005年，江西卷）如图，设抛物线C:y=x2的焦点为F,动点P在肓线l:x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.，求AAPB的重心G的轨迹方程.巧练二（2006年，全国I卷）在平面直角坐标系xOy中，冇一个以片（0,-巧）和只（0,馆）为焦点、离心率为匣的~2椭圆，设椭圆在第一-象限的部分为Illi线C,动点P在C上，C在点P处的切

5、线与兀、y轴的交点分别为A、B,且向▼量OM=OA+OB,求点M的轨迹方程二、直接法直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项屮取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。【例1】（2009年高考全国II卷）已知双曲线C:二-・二1（。＞0小＞0）的右焦点为F,

6、过F且斜率为巧的直线ertr交C于A、B两点。若AF=4FB,则C的离心率为（）(D)-5t7久(A)一(B)一(C)-555【巧解】设人(兀］,%),B(x2,y2),F(c,0),由AF=4FBf^(c-xl-yl)=4(x2-c,y2)・・・％=-4y2,设过F点斜率为V3的直线方程为兀=咅+c,73+2_爺@2_3/)23/?4■b一_4(戸_3/)，将V.=-4y2代入得＜4b4c23b4

7、3(戸3/)24(沪3/)6h2c九V3(b2-3a2)化简得-4%酬b2-3a236a2,化简得：16c2=9(3a2-b2)=%3a2-c2+a2)f:.25c2故本题选（A）【例2]（2008年,四川港）设定义在R上的函数/（兀）满足/（X）-/（x+2）=13,若/（1）=2，则f（99）=（）(A)13(B)2(C)(D)13131313【巧解】+=A/(x+4)==/(x)/W/G+2)13/W•••函数f(x)为周期函数,KT=4,A/(99)=/(4x24+3)=/(3)=137(i)13T故选（

8、C）巧练一：（2008年，湖北卷）若/⑴=-丄/+bin（兀+2）在（-l,+oo）上是减函数，则b的取值范围是（）A.[一1,+8）B・（―1,+x）C.（-00,-1]D.（-00,-1）巧练二（2008年，湖南卷）长方体ABCD—A^^iDi的8个顶点在同一个球面上，且AB=2,AD=^3,AA{=1,则顶点A、3间的球而距离是（）A.2^[^兀B.迈兀c-1D•呼