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《高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程知识精讲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1.抛物线定义：平面内与一个定点F和一条直线/的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线/叫做抛物线的准线，定点F不在定直线/上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e=l时为抛物线，当O〈e〈l时为椭圆，当e>l时为双曲线。2.抛物线的标准方程有四种形式，参数p的儿何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同其中P（兀。,北
2、）为抛物线上任一点。3.对丁-抛物线y2=2px（p^0）上的点的坐标对设为［善以简化运算。4.抛物线的焦点弦：设过抛物线/=2px（p>0）的焦点F的直线与抛物线交于B（x2,y2）,直线0A与OB的斜率分别为«、k“直线/的倾斜角为o,则有yy2=-p2,牡七,k'k?——4,IGA!=,=,
3、/4B
4、=—£—,AB—石++/?。*■l-cos6Z1+cosasin-a~说明：1.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。2.凡涉
5、及抛物线的弦长、弦的屮点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。3.解决焦点弦问题吋，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。【解题方法指导】例1.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为兀轴，且与圆x2+j2=4相交的公共弦长等于2希，求此抛物线的方稈。解析：设所求抛物线的方程为y2=2px或b=_2g设交点人（西，必）、B（x2,y2）（yi>0）贝9卜］
6、+卜2
7、=2希，.I必=馆，代入x2+y2=4得x=±l・••点（1,侖）在b=2px±,（一1,的）在尸
8、=-2px±3=2p或3=-2p（-l），:•卩=冷故所求抛物线方程为=3兀或），=-3兀。例2.设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F,经过F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上，且BC//X轴，证明直线AC经过原点。/、解析：证法一：由题意知抛物线的焦点F2,0（2丿故可设过焦点F的直线AB的方程为“⑴+彳x=my由4消去兀得）'=0y2=2px设a（西，yj、〃（兀2‘力），则）^2=-p2VBC//X轴，且C在准线x=-2上•:C点坐标为_£I~2于是直线AC的方程为==上二匚%
9、一刃—J21要证明AC经过原点，只需证明归»=°一西,即证2)1=-西％->1_£_r2-21注意到=2pxvyy2=-p2知上式成立，故直线AC经过原点。证法二：同上得yly2=-p2o又•/BC//x轴，且C在准线x=—1±,:.C点坐标力2pX2,知A、O、C三点共线，从而直线AC、亍，力。于是kocL/经过原点。证法三：如图,设兀轴与抛物线准线/交于点E,过A作AD丄/,D是垂足则AD//FE//BC,连结AC交EF于点N,则ADBFNFAFAB'BCABEN又根据抛物线的几何性质,AF
10、=AD,BF=BCENAF[BC=NF因此点N是EF的中点，即N与原点O重合，・・・直线AC经过原点O。评述：本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。其屮证法一和二为代数法，证法三为几何法，充分运用了抛物线的几何性质，数形结合，更为巧妙。【考点突破】【考点指要】抛物线部分是每年高考必考内容，考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质，多出现在选择题和填空题中，主要考查基础知识、基础技能、基本方法，分值大约是5分。考查通常分为四个层次：层次一：考查抛物线定
11、义的应用；层次二：考查抛物线标准方程的求法；层次三：考查抛物线的儿何性质的应用；层次四：考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。【典型例题分析】例3.（2006江西）设O为坐标原点，F为抛物线），二4兀的焦点，A为抛物线上一点,若OAAF=-4f则点A的坐标为（）C.(1,2)D.A.（2,±2血）B.（1,±2）（2,2^2）答案：B解析：解法一：设点A坐标为（兀,y）,则OA-AF=（x,y）•（1-x,y）=x-
12、x2+）"解得x=l或x=-4（舍），代入抛物线可得点A的坐标为（1,±2）。解法二由题意设彳竽」。即乎1一乎—儿2=-4，X+12y：—64=0,求得y0=±2,・••点A的坐标为（1，±2）。评述：本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。例4.（2006安徽）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆壬+专二I的右焦点重合，则卩的值为（）A.-2B.2C.-4D.4答案:D解析：椭圆巴+21=1的右焦点为（2,0）,所以抛物线y2=2px的焦点为（2,0）,则6
