高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及

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1、高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1.抛物线定义：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当01时为双曲线。2.抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：其中为抛物线上任一点。3.对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。

2、4.抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有，，，，，，。说明：1.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。3.解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。【解题方法指导】例1.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长等于，求此抛物线的方程。解析：设所求抛物线的方程为或设交点（y1>0）则，∴，代入得∴点在

3、上，在上∴或，∴故所求抛物线方程为或。例2.设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且∥轴，证明直线经过原点。解析：证法一：由题意知抛物线的焦点故可设过焦点的直线的方程为由，消去得设，则∵∥轴，且在准线上∴点坐标为于是直线的方程为要证明经过原点，只需证明，即证注意到知上式成立，故直线经过原点。证法二：同上得。又∵∥轴，且在准线上，∴点坐标为。于是，知三点共线，从而直线经过原点。证法三：如图，设轴与抛物线准线交于点，过作，是垂足则∥∥，连结交于点，则又根据抛物线的几何性质，∴因此点是的中点，即与原点重合，∴直线经过原点。评述：本题考查抛物线的概念

4、和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法，证法三为几何法，充分运用了抛物线的几何性质，数形结合，更为巧妙。【考点突破】【考点指要】抛物线部分是每年高考必考内容，考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质，多出现在选择题和填空题中，主要考查基础知识、基础技能、基本方法，分值大约是５分。考查通常分为四个层次：层次一：考查抛物线定义的应用；层次二：考查抛物线标准方程的求法；层次三：考查抛物线的几何性质的应用；层次四：考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法

5、。【典型例题分析】例3.（2006江西）设为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上一点，若，则点的坐标为（）A.B.C.D.答案：Ｂ解析：解法一：设点坐标为，则，解得或（舍），代入抛物线可得点的坐标为。解法二：由题意设，则，即，，求得，∴点的坐标为。评述：本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。例4.（2006安徽）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（）A.－2B.2C.－4Ｄ.4答案：D解析：椭圆的右焦点为，所以抛物线的焦点为，则。评述：本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。【达标测试】一.选择题：1.抛物线的准线方程为，则实数的值是（）A.B.C.D

6、.2.设抛物线的顶点在原点，其焦点在轴上，又抛物线上的点，与焦点的距离为4，则等于（）A.4B.4或－4C.－2D.－2或23.焦点在直线上的抛物线的标准方程为（）A.B.或C.D.或4.圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为（）A.B.C.D.5.正方体的棱长为１，点在棱上，且，点是平面上的动点，且点到直线的距离与点到点的距离的平方差为１，则点的轨迹是（）A.抛物线B.双曲线C.直线D.以上都不对6.已知点是抛物线上一点，设点到此抛物线准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（　　　）A.5B.4C.D.7.已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影

7、是，点的坐标是，则的最小值是（）A.B.4C.D.58.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，则的值是（）A.12B.－12C.3D.－3二.填空题：9.已知圆和抛物线的准线相切，则的值是＿＿＿＿＿。10.已知分别是抛物线上两点，为坐标原点，若的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程为＿＿＿＿＿。11.过点（0，1）的直线与交于两点，若的中点的横坐标为，则＿＿＿。12.已知直线与抛物线交于两点，那么线段的中点坐标是＿＿＿＿＿。三.解答题：13.已知抛物线顶点在原点，对称轴为轴，抛物线上一点到焦点的距离是5，求抛物线的方程。14.过点（4，1