中考数学复习指导：对称点在二次函数问题中的应用

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1、对称点在二次函数问题中的应用/?二次函数尸a?+bx+c(aHO)的图象是一条抛物线，为轴对称图形，对称轴为x=-一•2ci因此，我们就有结论：若Ag“、Bfe,y2)为抛物线上一对对称点，则有舛+兀=_上~,22ayr=y2.下面谈谈上述结论的应用.一、在求抛物线上点的坐标中的应用例1已知抛物线y=ax1+bx+c的对称轴为兀=-l,A(2,l)、B(m,l)为抛物线上两点，则m=・解析观察A,B两点坐标特征，可知为抛物线上一组对称点因为纵坐标相等，则横坐标满足关系式匕殳=—2・・・2±竺二一1,m

2、=・4.22。2例2若抛物线y=a?+bx+c与x轴有一个交点，且过点A(m,n)、B(m+6,n),则n=.解析观察A,B两点坐标特征，可知为抛物线上一组对称点.因为纵坐标相等，则横坐标满足关系式上电=-2,所以对称轴为兀二〃2+(加+6)二加+3而该抛物线与x轴只有一22a2个交点，则交点为抛物线的顶点，所以顶点坐标为(m+3,0),则抛物线解析式可改写为y=[x-(771+3)]2=(x-m-3)2.将A(m,n)代入可得：n=(m-m-3)2=9点评在解类似问题时，只要看到抛物线上两点纵坐标相

3、等，则一定是一组对称点，且有□乞为解题带來很大方便・22a二、在比较抛物线上点的坐标大小中的应用例3若A(-4,力),B(-2,y2),C(3,y3)为二次函数y=x2+Zr-3的图象上的三点,则旳，『2•力的大小关系是()(A)y/'/<旳(C)y3

4、轴为x=-1,又因为a>0,故当*-1时，歹随尤的增大而减小，当Q-1时，)‘，随兀的增大而增大.观察A,B,C坐标可知:A,B两点在同一半抛物线上，可以根据性质作比较，而C点在另一半抛物线上，没有可比性.这吋我们可以根据抛物线的对称性,求出C点的对称点C从而将A,B,C三点变换到同一半抛物线上.由对称性可知C*(・5,力).因为xv・1时，y随兀的增大而减小，且(-5)<(・4)<(-2)<(-1),所以y3>yi>y2.答案选B.点评抛物线中比较点的坐标大小时，首先要看这些点是否在抛物线的同一半

5、支上，若在，直接利用性质判定，若不在，利用对称点将其转换到同一半抛物线上，再利用性质判定.三、在求三角形周长最值中的应用.例4如图2,己知抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,P为对称轴上一动点，求AAPC周长的最小值.解析由图2,Cmpc=AC+PA+PC.因为A,C为定点，则AC长度不变，只需求出PA+PC的最小值即可.此问题就转换成了“求一动点到两定点距离Z和最小”的问题了.由轴对称思想可知，只需作出A(C)的对称点，再与C(A)连接，与对称轴的交点即为P点位置，且所连的线

6、段长是PA+PC的最小值.由图可知，A、B是抛物线上一-组对称点，则BC为PA+PC的最小值，所以AAPC周2的最小值为AC+BC,只需依次求出AC,BC即可点评求抛物线条件下三角形周长最值问题，往往某一边长为定值，只需求出一动点到两定点距离之和的最小值，于是可转换成轴对称问题，在作对称点时，一组对称点往往很方便作或很显然(如本例题中A的対称点就是B).