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1、推理与证明1.通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为2F”，猜测关于球的相应命题。2.先解答(I),再通过类比解答(2)(1)已知正三角形的边长为Q,求它的内切圆的半径厂；(2)已知止四面体的棱长为Q,求它的内切球的半径厂。3.观察下列等式，从中归纳出一般性法则：(1)16=42,1156=342,111556=3342,11115556=33342,.……(2)1=卩,2+3+4=3^3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,......4.已知数列&”｝满足⑷=1,%
2、=上」5=1,2,…)，试归纳出这个数列的通项公式。1
3、+55.设试问：f(n)=n3+2n能被3整除吗？2V_16.已知函数/1(x)=——对于neN定义fri+l(x)=/,(/,,(%)),求九⑴的解析式。x+17.当〃=1,2,3,4,5时，f(n)=n2+41的值分别是43,47,53,61,71,它们都是素数，ill归纳法你能得到什么猜想？所得猜想正确吗？8.证明：V3-V2>V6-V59.证明：当d〉1时，』ci+1+a/q-1<2y[a10.用向量方法证明：己知四而体ABCD,若丄CD.AD丄BC,则AC丄BD°»r,.“十人.,,..亠、十b+c—ac+ci—bd+Z?—c_11.较ci,b,c为不全相等的止数，求证：
4、++>3oabc12.用反证法证明下列各题：(1)圆内不是直径的两弦，不能互相平分。(2)把54位铜同学分成若干小组，使每组至少有1人，且任意两组的人数不相等，则至多分成9个小纽。(3)求证：定义在实数集R上的单调函数y=/(x)的图像与兀轴至多只有1个公共点。(4)证明：1,、伍，3不可能是一个等差数列中的三项。(5)已知是正无理数，石,、仿是无理数，证明：徧+JF必为无理数。13.用数学归纳法证明：当nwN*时,(1)1+3+5+...+(2〃一1)=H~(2)1P+32+...+宀"("+1)0+1)(3)61x2+2x34-3x4+...+n(n+1)=—n(n+l)(n+2
5、)(4)(1—兀)(1+兀+兀2+…+兀"")=1—兀"(5)1’+2’+3’+=(1+2+3+...+/?)*"1.设neN/5）=5"+2x3"—+1,（1）当n=1,2,3,4时，计算/⑺）的值。（2）你对/⑺）的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想。2.在平面上画川条直线，且任何两条直线都相交，-其中任何3条直线不共点。问：这几条直线将平面分成多少个部分？3.求凸〃边形的对角线的条数f（n）o4.求证：3个连续口然数的立方和能被9整除。5.已知数列仏｝满足％=1,且4an+l-anan+l+2an=9（neN*）（1）求勺心宀（2）由（1）猜想&”｝的通项公式（3）由数学归
6、纳法证明（2）的结果。6.设x>0,/IgN',>2,求证：（1+兀）"〉1+/1兀。7.设nN,Z?>1求证：1Hf=H—f=+…—〉-yfny]2a/34n8.设nw",求证：/（n）=32w+2-8n-9^64的倍数。9.求证：x2m-l（7te/V*）能被兀+1整除。10.比较/严】与S+l）"SwNj的大小，分别取n=1,2,3,4,5加以实验，根据实验结果猜测1个一-般性结论，并用数学归纳法证明。11.类比关于圆的结论“圆*+〉,2=八上一点卩（心儿）处的切线方程为”，得到关于椭圆l（d〉b〉O）的一个结论是什么？12.类比关于正三角形的结论“边长为d的正三角形内部任意一
7、点到3条边的距离Z和为定73m—a（正三角形的高）”，可以得到空间的结论是什么？2复数1.计算：2?13(1)(-+/)+(1——/)-(-+-/)3324(2)(1一3严)+(2+4严)一(3—5严)(5)27-&3+2,(1-V3/)6(1+08⑻（3-2沪一（3+2沪(1)(-3+0(2-4/)2•求满足下列条件的实数忑y的值:(1)(x+yi)i-2+4i=(x+yi)(l+z)(2)丄+亠二i-i1-211-3/3•若复数（1+勿）（2+0是纯虚数,求实数b的值。4.已知复数Z]=l-i9zrz2=l+i，求复数s。5.已知©=1+2i,z?=3—4i,—=1,求z。z$s
8、6.已知复数Z满足（Z一2）1=l+i,求复数Z的模。7.已知复数z=i-i,求丨的值。8•在复平而内，复数i,1,4+2,所对应的点分别是A,B,C,求平行四边形ABCD的对角戏BD的长。9.已知％是两个虚数，并几©+5与乙忆2均为实数，求证：SO是共辘复数。10.已知复数w满足1+w+w?=0,求w?+丄的值。w11.已知z是虚数，w=z+丄，求证：ww的充要条件是Iz1=1o12.已知Z{9z2WC,lZ]1=1Z21=1,1Z]+Z21=馆，求IZ
