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时间:2019-09-07
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1、……密……封……线……内……不……要……答……题……密……封……线……内……不……要……答……题……考试号姓名学校南通市区高中数学解题能力竞赛试卷(时长:120分钟,满分:160分)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.已知集合A={(x,y)│
2、x
3、+
4、y
5、=2,x,y∈R},B={(x,y)│
6、xy
7、=a,x,y∈R},若A∩B中的元素所对应的点恰好是一个正八边形的八个顶点,则正数a的值为.2.给出一个算法:ReadxIfx≤0Then←4xElse←EndIfPrint根据以上算法,可求得的值为.3.已知≤是定义域为R的奇函数,且当x
8、=2时,f(x)取得最大值2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=.4.已知O是△ABC内一点,,则△AOB与△AOC的面积的比值为.5.在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且.则A=.6.某学生对函数进行研究后,得出如下四个结论:①函数f(x)在上单调递增;②存在常数,使对一切实数x均成立;③函数f(x)在(0,π)上无最小值,但一定有最大值;④点(π,0)是函数图象的一个对称中心.其中正确的是.7.某工厂投入98万元购买一套设备,第一年的维修费用12万元,以后每年增加4万元,每年可收入50万元.就此问题给出以下命题:①前两年没
9、能收回成本;②前5年的平均年利润最多;③前10年总利润最多;④第11年是亏损的;⑤10年后每年虽有盈利但与前10年比年利润有所减少(总利润=总收入-投入资金-总维修费).其中真命题是.8.若a>0,b>0,a3+b3<2a2b,则的取值范围是.市区高中数学教师解题竞赛试卷第13页(共13页)9.数列{an}的构成法则如下:a1=1;如果an-2为自然数且之前未出现过,则用递推公式,否则用递推公式.则a6=.10.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线x-my+m=0与抛物线交于A、B两点,且△OAB(O为坐标原点)的面积为2,则m6+m4=.11.已知等
10、腰三角形腰上的中线长为,则该三角形的面积的最大值是.12.若函数,则.13.已知三次函数在R上单调递增,则的最小值为.14.设短轴长为的椭圆C:和双曲线的离心率互为倒数,过定圆E上的每一个点都可以作两条互相垂直的直线,且与椭圆的公共点都只有一个,则所求的圆的方程为.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的5个小球,这些小球除去标注的数字外完全相同.甲、乙两人玩一种游戏,甲先摸出一个球,记下球上的数字后放回,乙再摸出一个小球,记下球上的数字,如果两
11、个数字之和为偶数则甲胜,否则为乙胜.(1)求两数字之和为6的概率;(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.市区高中数学教师解题竞赛试卷第13页(共13页)16.(本小题满分14分)直棱柱中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,.(1)求证:AC⊥平面BB1C1C;(2)在A1B1上是否存一点P,使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行?证明你的结论.ABCDD1C1B1A1市区高中数学教师解题竞赛试卷第13页(共13页)17.(本小题满分15分)平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M经过点F1(0,-c),F2(0,c),A(c,0)三
12、点,其中c>0.(1)求圆M的标准方程(用含的式子表示);(2)已知椭圆(其中)的左、右顶点分别为D、B,圆M与x轴的两个交点分别为A、C,且A点在B点右侧,C点在D点右侧.①求椭圆离心率的取值范围;②若A、B、M、O、C、D(O为坐标原点)依次均匀分布在x轴上,问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上?若是,请求出这条定直线的方程;若不是,请说明理由.市区高中数学教师解题竞赛试卷第13页(共13页)18.(本小题满分15分)设不等式组所表示的平面区域为,记内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为f(n)(n∈).(1)求f(1),f(2)
13、的值及的表达式;(2)记,若对于一切正整数n,总有成立,求实数m的取值范围;(3)设为数列{}的前项和,其中,问是否存在正整数n,t,使成立?若存在,求出正整数n,t;若不存在,说明理由.市区高中数学教师解题竞赛试卷第13页(共13页)19.(本小题满分16分)已知函数的图象上,以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为.(1)求m,n的值;(2)是否存在最小的正整数k,使得不等式≤k-1991对于恒成立;(3)求证:≤.市区高中数学教师解题竞赛试卷第13页(共13页)20.(本小题满分16分)已知数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)对任意给定的,是否存在()
14、使成等差数列?若存在,用分别表示和(只要写出一组);
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