南通市区高中数学解题能力竞赛试卷

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1、……密……封……线……内……不……要……答……题……密……封……线……内……不……要……答……题……考试号姓名学校南通市区高中数学解题能力竞赛试卷（时长：120分钟，满分：160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合A={(x，y)│

2、x

3、＋

4、y

5、=2，x，y∈R}，B={(x，y)│

6、xy

7、=a，x，y∈R}，若A∩B中的元素所对应的点恰好是一个正八边形的八个顶点，则正数a的值为．2．给出一个算法：ReadxIfx≤0Then←4xElse←EndIfPrint根据以上算法，可求得的值为．3．已知≤是定义域为R的奇函数，且当x

8、＝2时，f(x)取得最大值2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=．4．已知O是△ABC内一点，，则△AOB与△AOC的面积的比值为．5．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．则A=．6．某学生对函数进行研究后，得出如下四个结论：①函数f(x)在上单调递增；②存在常数，使对一切实数x均成立；③函数f(x)在(0,π)上无最小值，但一定有最大值；④点（π，0）是函数图象的一个对称中心．其中正确的是．7．某工厂投入98万元购买一套设备，第一年的维修费用12万元，以后每年增加4万元，每年可收入50万元．就此问题给出以下命题：①前两年没

9、能收回成本；②前5年的平均年利润最多；③前10年总利润最多；④第11年是亏损的；⑤10年后每年虽有盈利但与前10年比年利润有所减少（总利润=总收入－投入资金－总维修费）．其中真命题是．8．若a＞0，b＞0，a3＋b3＜2a2b，则的取值范围是．市区高中数学教师解题竞赛试卷第13页（共13页）9．数列{an}的构成法则如下：a1=1；如果an－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式，否则用递推公式．则a6=．10．过抛物线y2=2px（p>0）的焦点的直线x－my+m=0与抛物线交于A、B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为2，则m6+m4=．11．已知等

10、腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是．12．若函数，则．13．已知三次函数在R上单调递增，则的最小值为．14．设短轴长为的椭圆C:和双曲线的离心率互为倒数，过定圆E上的每一个点都可以作两条互相垂直的直线，且与椭圆的公共点都只有一个，则所求的圆的方程为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除去标注的数字外完全相同．甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个球，记下球上的数字后放回，乙再摸出一个小球，记下球上的数字，如果两

11、个数字之和为偶数则甲胜，否则为乙胜．（1）求两数字之和为6的概率；（2）这种游戏规则公平吗?试说明理由．市区高中数学教师解题竞赛试卷第13页（共13页）16．（本小题满分14分）直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，．（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；（2）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论．ABCDD1C1B1A1市区高中数学教师解题竞赛试卷第13页（共13页）17．（本小题满分15分）平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M经过点F1（0，－c），F2（0，c），A（c，0）三

12、点，其中c＞0．（1）求圆M的标准方程（用含的式子表示）；（2）已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为D、B，圆M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．①求椭圆离心率的取值范围；②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．市区高中数学教师解题竞赛试卷第13页（共13页）18．（本小题满分15分）设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f(n)（n∈）．（1）求f(1)，f(2)

13、的值及的表达式；（2）记，若对于一切正整数n，总有成立，求实数m的取值范围；（3）设为数列{}的前项和，其中，问是否存在正整数n，t，使成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，说明理由．市区高中数学教师解题竞赛试卷第13页（共13页）19．（本小题满分16分）已知函数的图象上，以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为．（1）求m，n的值；（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式≤k－1991对于恒成立；（3）求证：≤．市区高中数学教师解题竞赛试卷第13页（共13页）20．(本小题满分16分)已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）对任意给定的，是否存在（）

14、使成等差数列？若存在，用分别表示和（只要写出一组）；