讲稿1：函数定义域与思维品质

《讲稿1：函数定义域与思维品质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、专题讲座：函数定义域与思维品质高三备课组讲座对象：全体学生思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现。它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敬捷性等品质。函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高屮数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大耍素Z-,函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人谋入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是-

2、•分有益的。一、函数关系式与定义域函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须耍考虑所求函数关

3、系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错课。如：例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现冇材料可筑墙的总长度为100m,求矩形的而积S与矩形长x的函数关系式？解：设矩形的长为x米，贝U宽为(50-x)米，由题意得：S=x(50-%)故函数关系式为：S=x(50-x)・如果解题到此为止，则本题的函数关系式述欠完整，缺少自变量兀的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量兀取负数或不小丁•50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相孑盾，所以还应补上口变量兀的范围：0

4、说明，在用函数方法解决实际问题时，必须耍注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义威的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。二、函数最值与定义域函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义威，将会导致最值的错误。如：例2：求函数y=x2-2x-3在［一2,5］上的最值.解：・.・y=x2-2x-3=(x2-2x+l)-4=(x-l)2-4・•・当兀=1时，=-4初看结论，木题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于是按照求二次函

5、数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。其实以上结论只是对二次函数y=ax2+bx+c(a>0)在R上适用，而在指定的定义域区间［p,q］上，它的最值应分如下情况：⑴当—y=f(x)在［阳］上单调递增函数/(x)min=/(p)JU)max=/(^);2a⑵当—时，y=/(兀)在［从q］上单调递减函数/«inax=/(p),/Wmin=/(^);2a⑶当时，y=/(x)在［”,q］上最值情况是：h/uu=/(--)=4ac-b24a/Wmax=rnax{/(p),/(9)}.即最大值是中最大的

6、一个值。故本题述要继续做下去：・.・-2<1<5・・・/(-2)=(-2)2-2x(-2)-3=-3/(5)=52-2x5-3=12•・・/(x)max=max{/(-2),/(5)}=/(5)=12・・・函数y=x2-2x-3在［—2,5］上的最小值是一4,最大值是12.这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程屮加以注意，便体现岀大家思维的灵活性。三、函数值域与定义域函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随Z而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：例3：求函

7、数y=4x-5+丿2兀-3的值域.错解：令f=J2—3,则2兀=『+3°°1o77・•・y=2(八+3)—5+/=2r2+/+1=2(/+—)2+—n—-488故所求的函数值域是

8、-,+oo).8剖析：经换元后，应有宀0,而函数y=2八+r+i在［0,+8)上是增函数，所以当t=0时,ymin=1•故所求的函数值域是［1,+8)・以上例了说明，变量的允许值范围是何等的重耍，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错谋结果的产生。也就是说，大家若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思

9、维过程，便体现出良好的思维批判性。四、函数单调性与定义域函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。女口：例4：指出函数/(x)=log2(x2+2兀)的单调区间.解：先求定义域：x2+2x>0・x>0或兀<-2函数定义域为(-oo,-2)U(0,+oo)・令u=x2+2x,知在xg(-00,-2)上时，u为减函数，在XG(0,4-00)上时，U为增函数。乂・・•/(x)=log2"在［0,乜)是增函数.・・・函数/(x)=log2(x2+2x)在(-0)-2)上是

10、减函数，在(0,4-00)上是增函数。即函数/(x)=10g2(x2-f-2x)的单调递增区间(0,4-00),单调递减区