从函数定义域看思维品质

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1、从函数定义域看思维品质摘要：木文分别从函数关系、函数值域、函数最值、函数单调性、函数奇偶性这五方面与定义域的关系观察思维品质的养成。关键词：函数定义域；思维品质；数学作者简介：陈坚，任教于广西融水县中学。数学能力的高低，是由思维品质所决定。思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现。它包括思维的深刻性、思维的广阔性、思维的独立性、思维的批判性、思维的逻辑性和思维的灵活性等品质。思维的深刻性是指善于透过纷繁复杂的表面现象发现问题的木质。思维的广阔性是指善于全面地考察问题，从事物的各个方面及各种各样的联系和关系中去认识事物。思维的独立性是指

2、提出问题，并通过一系列的思维过程去发现解决问题的途径和方法，寻求问题的答案。思维的批判性是指在思维过程中不受別人暗示的影响，能严格而客观地评价、检查自己的和别人的思维成果。思维的逻辑性是指人的思维过稈服从或符合于严格的逻辑规律或规则，考察问题时遵循逻辑的顺序，进行推理的时候应用正确而充分的依据，整个思维过程层次分明，前后连贯。思维的灵活性是指人在思维的过程中，善于根据客观情况需要，及时提出符合实际的解决问题的假设和方法；在客观条件发牛变化时，乂善于及时修改不切合实际的解决问题的假设。函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函

3、数的定义域是构成函数的两大要素之一。函数的定义域（或变量的允许值范围）似乎是非常简单的,然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学牛的数学思维品质是十分有益的。一、函数关系式与定义域函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。女m例1：现有铝合金材料的总长度为5米，要做成一个上部为半圆下部为矩形(如图)的窗框，求窗框面积S米与矩形下边长x米的函数关系式。解：设矩形的下边长为x米，由题意得：S二x+故函数

4、关系式为：S二x+如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围:0<x<。即：函数关系式为：S=x+(0<x<)这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。二、函数值域与定义域函数的值

5、域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。女山例3：求函数的值域。错解：令∴故所求的函数值域是.剖析：经换元后，应有，而函数y二(t+1在［0?+∞)上是增函数，所以当t二0时，ymin二.故所求的函数值域是［,+∞).以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围,精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地

6、检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。三、函数最值与定义域函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。女m例2：求函数在［—2,5］上的最值。解：•・•∴当时,初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。其实以上结论只是对二次函数在R上适用，而在指定的定义域区间上，它的最值应分如下情况：(1)当吋，在上单调递增函数；(2)当吋，

7、在上单调递减函数；(3)当吋，在上最值情况是：O即最大值是中最大的一个值。故本题还要继续做下去：••■∴∴∴函数在［―2,5］上的最小值是一4,最大值是12.这个例子说明，在函数定义域受到限制吋，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。四、函数单调性与定义域函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如:例4：指出函数的单调区间.解：先求定义域：丁&there4

8、;∴函数定义域为.令，则y=logt当在上时，t为增函数，在上吋，t为减函数。又I・∴函数在上是减函数，在上是增函数。即函数的单调递增区间是，单调递减区间是。如果在做题吋，没有在定义域的两个区