2012年江苏高考理科数学试卷

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1、2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（全卷满分160分，考试时间120分钟）参考公式：棱锥的体积，其中为底面积，为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合，，则▲．【答案】。【考点】集合的概念和运算。【分析】由集合的并集意义得。2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生．【答案】15。【考点】分层抽样。【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学

2、分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此，由知应从高二年级抽取15名学生。3．设，（i为虚数单位），则的值为▲．【答案】8。【考点】复数的运算和复数的概念。【分析】由得，所以，。4．下图是一个算法流程图，则输出的k的值是▲．【答案】5。【考点】程序框图。【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环k循环前00第一圈是10第二圈是2－2第三圈是3－2第四圈是40第五圈是54第六圈否输出5∴最终输出结果k=5。5．函数的定义域为▲．【答案】。【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不

3、等式。【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得。6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲．【答案】。【考点】等比数列，概率。【解析】∵以1为首项，为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是。7．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为▲cm3．【答案】6。【考点】正方形的性质，棱锥的体积。【解析】∵长方体底面是正方形，∴△中cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。∴四棱锥的体积为。由8．在平面直角坐标系中，若双曲

4、线的离心率为，则的值为▲．【答案】2。【考点】双曲线的性质。【解析】由得。∴，即，解得。9．如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是▲．【答案】。【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。【解析】由，得，由矩形的性质，得。∵，∴，∴。∴。记之间的夹角为，则。又∵点E为BC的中点，∴。∴。本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。10．设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为▲．【答案】。【考点】周期函数的性质。【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①。又∵，，∴②。联立①②，解得，。∴。11．设为锐角，若，

5、则的值为▲．【答案】。【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。【解析】∵为锐角，即，∴。∵，∴。∴。∴。∴。12．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是▲．【答案】。【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离【解析】∵圆C的方程可化为：，∴圆C的圆心为，半径为1。∵由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点；∴存在，使得成立，即。∵即为点到直线的距离，∴，解得。∴的最大值是。13．已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为▲．【答案】9。【考点】函数的值域，不等式的解集。【

6、解析】由值域为，当时有，即，∴。∴解得，。∵不等式的解集为，∴，解得。14．已知正数满足：则的取值范围是▲．【答案】。【考点】可行域。【解析】条件可化为：。设，则题目转化为：已知满足，求的取值范围。作出（）所在平面区域（如图）。求出的切线的斜率，设过切点的切线为，则，要使它最小，须。∴的最小值在处，为。此时，点在上之间。当（）对应点时，，∴的最大值在处，为7。∴的取值范围为，即的取值范围是。二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在中，已知．（1）求证：；（2）若求A的值．【答案】解：（1）∵，∴，即。由正弦

7、定理，得，∴。又∵，∴。∴即。（2）∵，∴。∴。∴，即。∴。由（1），得，解得。∵，∴。∴。【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。（2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。16．（14分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点不同于点），且为的中点．