2017学年九年级数学下册1.4二次函数与一元二次方程的联系《二次函数与一元二次方程》例题讲析素材（新版）湘教版

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1、《二次函数与一元二次方程》[例1]利用二次函数的图象求一元二次方程-的近似解.[点拨]由于的函数值为时，对应点的横坐标即为一元二次方程的解，故可通过作出函数图象来估算方程的近似解.解：在平面直角坐标系内作出函数的图象，如图所示由图象可知方程的根是抛物线与直线的交点.左边的交点横坐标在与之间，另一个交点的横坐标在3与4之间.（1）先求交点横坐标在与之间的根，用计算器进行探索.因此，是方程的一个近似解.（2）另一个解也可类似地求出.因此，是方程的另一个近似解.故一元二次方程的解为.现在我们用求根公式来验证一下.对于方程整理得..因而利用

2、图象法求得方程的近似解是完全正确的.[例2]已知函数（1）该函数图象与轴有几个交点?请作图予以验证;（2）试说明一元二次方程的根与函数的图象的关系,并将方程的根在图象上表示出来;（3）试问当为何值时,函数的值为15?[点拨]（1）可通过解方程,求出方程的解,即可知道图象与轴有几个交点;（2）方程的根可以看作是函数的值为2时的值,此时可依据图象来确定方程的解;（3）要使函数的值为15,即是确定的解,这时既可观察图象估算出的值,也可直接解方程确定相应的值.解：（1）即方程有两个实数解.函数与轴必交于两点,且两点的横坐标为1和3,如图所示

3、.（2）由图可知,一元二次方程的解恰是函数的函数值时对应图象上点的横坐标,此时方程的解为和,在轴上的对应点如图所示;（3）利用得.解得即当或时,函数的值为15.[例3]已知抛物线与轴有A,B两个交点,且A,B关于轴对称.（1）求的值;（2）写出抛物线的解析式及顶点坐标;（3）根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.[点拨]:对于抛物线给出了两个条件（1）抛物线与轴有两个交点;（2）两交点关于轴对称,对于条件（1）,由于二次项系数为负（）,所以抛物线开口向下.抛物线与轴有两个交点意味着其顶点在轴上方，即顶点纵坐标

4、大于零；这两交点关于轴对称，意味着抛物线的对称轴为轴，即顶点横坐标为零，由此，可以确定的值.解：（1）设A（，0），B（，0），因为A，B关于轴对称，所以即由（1）得代入（2）验证不全合题意，（2）把代入解析式：顶点坐标为.（3）方程两个不等实根互为相反数或两个不等实根之和为零.[例4]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过（－1，7），且在x轴上截取长为3的线段，对称轴方程是x－1＝0，求这个二次函数的解析式.分析按通常的解法，此题应列方程组来解，但若能深刻思考“在x轴”上截取长为3的线段，对称轴方程是“x－1＝0”的深

5、层含义，充分利用抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的两交点的坐标别为（2.5，0），（－0.5，0），且2.5和－1.5是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，若利用这些信息求解析式，则变得十分简单，方法也更为轻巧.解：抛物线的对称轴方程是x＝1，且在x轴上截取的线段为3，所以抛物线与x轴交点坐标分别为（2.5，0）（－0.5，0）.设此函数解析式为y＝a（x－2.5）（x＋0.5），把（－1，7）代入，解得　　a＝4；所以所求的二次函数解析式为　　y＝4x2－8x－5.由于二次函数的解析式中有三个参数a，b，c；运用待定系数法求a，b，

6、c时，则需3个独立条件，已知3个点的坐标是最基本的条件，但如果已知对称轴方程，或抛物线与x轴的一个交点坐标，或截得线段的长时，仍可利用抛物线的对称性，转化为这个基本条件，只需掌握这个转化就可以了，这里就是一例.