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1、量子力学试题（1）（2005）姓名学号得分简答题（每小题5分，共40分）1.一粒子的波函数为0（尸）=0（x,y,z）,写出粒子位于兀〜x^dx间的几率。2.粒子在一维/势阱V(x)=-yS{x)(/>0)中运动，波函数为0（无），写出0（兀）的跃变条件。3.量子力学中，体系的任意态肖（兀）可用一组力学量完全集的共同本征态0”（兀）展开:肖⑴二工c”0”（兀），n写出展开式系数C”的表达式。匕厶卜?4.给出如下对易关系：[z,0」=?5•何谓几率流密度？写出几率流密度y（r,r）的表达式。26•—维运动中，哈密顿量//=上一+V（x）,求[
2、.//]=?[p,H]=?2m7.一质量为“的粒子在一维无限深方势阱V（x）=
3、0,°V兀V2d[oo,x<0,x>2a中运动，写出其状态波函数和能级表达式。8.已知厄米算符A、B互相反对易：{A,B}=AB+BA=0；
4、b）是算符B的本征态:B0）=冊）,本征值20。求在态卩〉中,算符A的平均值。二计算和证明题1.设粒子限制在长、宽、高分别为Cl^C的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。(、川2.考虑如下一维波函数：0(x)=A-厂几，其中A/7,x()为已知常数。利用薛定谴贏丿方程求位势V(x)和能量E。对于它们，该波函数为一
5、本征函数(已知当XTOO,U(X)TO)。3•—质量为加的粒子沿兀止方向以能量E向x=O处V(x)个的势阶运动。当x<0时，该势为0；当兀>0时，该势为Et3—E。问在兀=0处粒子被反射的的几率多大？(15分)匕40X4.设粒子处于么(&0)状态下，1)证明在的本征态下，L~=L~=Oo(提示：利用LL-L.L、.=itiL,[Lz,Lx]=LzLx-LxLz=zMy求平均。)2)求(△厶J和(AZ.J(附加题)5.设F(x,p)是兀，"的整函数，证明[〃/]=—厉?F,[aF]=/AAFoxop整函数是指F(x,p)可以展开成F(x,p)
6、=£c胸*“p"。量子力学试题ci）（2005）姓名学号得分一、简答题（每小题5分，共40分）1.—粒子的波函数为p（7）=0（x,y,z）,写出粒子位于x〜x+dx间的几率。+co解：°—00—002.粒子在一维5势阱V（x）=（/>0）中运动，波函数为w写出以（无）的跃变条件。解：0（（r）—,（（r）=—賽0（0）。n3.量子力学中，体系的任意态肖（兀）可用一组力学量完全集的共同本征态屮少展开:0（兀）=工”（兀），n写出展开式系数C”的表达式。解：5=（几（%）"（兀））=J0：（x）i//（x）dx。4.给出如下对易关系：匕几卜？
7、[■"」=?匕丄卜？解：[z,pj=^[%,Py=Q[厶，厶」=一彷九’5•何谓几率流密度？写出几率流密度j（r,r）的表达式。解：单位时间内通过与粒子前进方向垂直的单位面积的几率称为几率流密度。二一学07屮一庐屮、2m26•—维运动中，哈密顿量H二卫一+卩（兀），求[x,H]=?[/?,//]=?2m解：[.H]二如，[p,H]=-ih-^V（x）mcix7.一质量为“的粒子在一维无限深方势阱V（x）=J0,00,()v兀v2qx<0,x>2a屮运动，写出其状态波函数和能级表达式。解:7?・7Tn02a8^2&已知
8、厄米算符A、3互相反对易：（A9B}=AB+BA=0i比）是算符〃的本征态：恥）,本征值20。求在态仏〉中，算符A的平均值。解:{A,B}=AB+S4=0,O=0
9、{A,B}
10、b〉=0
11、AB
12、b〉+〈b
13、&4
14、®=%0
15、A
16、b〉。但b工0,从而有A=〈/?制b）=0,即在态卩〉屮，算符A的平均值为零。二•计算和证明题1•设粒子限制在长、宽、高分别为a^c的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三
17、个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿兀,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有Jpx-clx=nxh,（nx=1,2,3,•••）px-2a=nxh（2d：—来一回为一个周期）px=nxh!2a,同理可得,py=nyh!2b,pz=nzh!2c,nx.nrnz=1,2,3,…1〃2方2（2n22粒了能量E=〒（”；+“；+“；）=+士+十八2m2mabc代，®，卩：=1,2,3,…2.考虑如下一维波函数：讥X）二其中人仏兀0为已知常数。利用薛定铐方程求位势V（x）和能量E。对于它们，该波函数为一本征函数(已知当无To
18、o,U(x)tO)。解：定态S.eq为(2)h2d22mdx2对题给肖（兀）求导:、n-X^=A—兀oWo丿/、Xn(］、*一・"心-n1、k丿'、•Mc卫兀0丿e*+人(3)
